Question

7．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D為BC上一點，且AD=DC，過A、B、D三點作⊙O，AE是⊙O的直徑，連接DE．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若cosC=$\frac{2}{3}$，AC=8，求⊙O直徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由AB=AC，AD=DC得∠C=∠B，∠1=∠C，則∠1=∠B，根據(jù)圓周角定理得∠E=∠B，∠ADE=90°，所以∠1+∠EAD=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到AC是⊙O的切線；
（2）過點D作DF⊥AC于點F，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得CF=$\frac{1}{2}$AC=4，在Rt△CDF中，根據(jù)已知條件得到DF，DC，利用勾股定理得CF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AB=AC，AD=DC，
∴∠C=∠B，∠1=∠C，
∴∠1=∠B，
又∵∠E=∠B，
∴∠1=∠E，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ADE=90°，
∴∠E+∠EAD=90°，
∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，
∴AE⊥AC，
∴AC是⊙O的切線；

（2）解：過點D作DF⊥AC于點F，如圖，
∵DA=DC，
∴CF=$\frac{1}{2}$AC=4，
在Rt△CDF中，∵cosC=$\frac{CF}{CD}$=$\frac{2}{3}$，
∴DC=6，
∴AD=6，
∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C，
∴△ADE∽△DFC，
∴$\frac{AE}{DC}$=$\frac{AD}{DF}$，即$\frac{AE}{6}$=$\frac{6}{\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}}$，解得AE=$\frac{18\sqrt{5}}{5}$，
即⊙O的直徑為$\frac{18\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．