Question

1．現(xiàn)有一個真命題：如圖1，△ABC是等邊三角形，被一平行于BC的矩形所截，如果E、F是AB的三分點，H、G是AC的三分點．那么重疊部分（即四邊形EFGH）的面積是△ABC的$\frac{1}{3}$．
（1）請你證明這個真命題；
（2）課題學習一：
①如果是任意三角形（如圖2），判斷結論是否成立，不必說明理由；
②如果是梯形（圖3），結論是否成立，若成立，請加以證明；若不成立，不必說明理由；
（3）課題學習二：
①如果E、F是△ABC的邊AB的五等分的第二，三等飛點，H、G是邊AC的五等分的第二、三等分點（如圖4）通過計算，直接寫出四邊形EFGH的面積與△ABC的面積的比值；
②如果E、F是△ABC的邊AB的2n+1等分的第n、n+1的等分點，H、G是邊AC的2n+1等分的第n、n+1等分點，猜想并直接寫出四邊形EFGH的面積與△ABC的面積的比值．

Answer 1

分析 （1）過點A作AM⊥BC于點M，交EH、FG于點N、P，設NP=m，則AM=3m，設EH=n，則BC=3n，F(xiàn)G=2n，根據(jù)$\frac{{S}_{四邊形EFGH}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×（n+2n）m}{\frac{1}{2}×3n×3m}$進行化簡即可；
（2）①如果是任意三角形，結論成立，證明過程同（1）相同；
②如果是梯形，過點A作AM⊥BC于點M，交EH、FG于點N、P，設NP=m，則AM=3m，設EH=a，BC=b，則FG=$\frac{1}{2}$（a+b），先求出AD=$\frac{3}{2}$a-$\frac{1}{2}$b，再根據(jù)$\frac{{S}_{四邊形EFGH}}{{S}_{梯形ABCD}}$=$\frac{\frac{1}{2}[a+\frac{1}{2}（a+b）]•m}{\frac{1}{2}[（\frac{3}{2}a-\frac{1}{2}b）+b]•3m}$化簡即可；
（3）過點A作AM⊥BC于點M，交EH、FG于點N、P．①設NP=m，則AM=5m，設EH=n，則BC=$\frac{5}{2}$n，F(xiàn)G=$\frac{3}{2}$n，根據(jù)$\frac{{S}_{四邊形EFGH}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×（n+\frac{3}{2}n）m}{\frac{1}{2}×\frac{5}{2}n•5m}$化簡即可；
②設NP=m，則AM=（2n+1）m，設EH=a，根據(jù)E、F是△ABC的邊AB的2n+1等分的第n、n+1的等分點，H、G是邊AC的2n+1等分的第n、n+1等分點，得出BC=$\frac{a（2n+1）}{n}$，F(xiàn)G=$\frac{a（n+1）}{n}$，再根據(jù)$\frac{{S}_{四邊形EFGH}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×[a+\frac{a（n+1）}{n}]m}{\frac{1}{2}×\frac{a（2n+1）}{n}×（2n+1）m}$進行約分即可．

解答 解：（1）如圖1：過點A作AM⊥BC于點M，交EH、FG于點N、P，
設NP=m，則AM=3m，設EH=n，則BC=3n，F(xiàn)G=2n，
則$\frac{{S}_{四邊形EFGH}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×（n+2n）m}{\frac{1}{2}×3n×3m}$=$\frac{1}{3}$；

（2）①如果是任意三角形，結論成立；
②如圖2；如果是梯形，結論成立，
證明：過點A作AM⊥BC于點M，交EH、FG于點N、P，
設NP=m，則AM=3m，設EH=a，BC=b，則FG=$\frac{1}{2}$（a+b），
∵EH=$\frac{1}{2}$（AD+FG），
∴a=$\frac{1}{2}$[AD+$\frac{1}{2}$（a+b）]，
∴AD=$\frac{3}{2}$a-$\frac{1}{2}$b，
∴$\frac{{S}_{四邊形EFGH}}{{S}_{梯形ABCD}}$=$\frac{\frac{1}{2}[a+\frac{1}{2}（a+b）]•m}{\frac{1}{2}[（\frac{3}{2}a-\frac{1}{2}b）+b]•3m}$=$\frac{1}{3}$；

（3）如圖3；過點A作AM⊥BC于點M，交EH、FG于點N、P，
①設NP=m，則AM=5m，設EH=n，則BC=$\frac{5}{2}$n，F(xiàn)G=$\frac{3}{2}$n，
則$\frac{{S}_{四邊形EFGH}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×（n+\frac{3}{2}n）m}{\frac{1}{2}×\frac{5}{2}n•5m}$=$\frac{1}{5}$；
②設NP=m，則AM=（2n+1）m，設EH=a，
∵E、F是△ABC的邊AB的2n+1等分的第n、n+1的等分點，H、G是邊AC的2n+1等分的第n、n+1等分點，
∴$\frac{EH}{BC}$=$\frac{n}{2n+1}$，
∴BC=$\frac{a（2n+1）}{n}$，
∵$\frac{EG}{FG}$=$\frac{n}{n+1}$，
∴FG=$\frac{a（n+1）}{n}$，
∴$\frac{{S}_{四邊形EFGH}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×[a+\frac{a（n+1）}{n}]m}{\frac{1}{2}×\frac{a（2n+1）}{n}×（2n+1）m}$=$\frac{1}{2n+1}$．

點評 此題考查了相似形綜合，用到的知識點是相似三角形的性質(zhì)與判定、平行線分線段成比例定理、三角形梯形的面積，關鍵是根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線．