Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y₁=ax+b（a≠0）的圖象與y軸相交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y₂=$\frac{k}{x}$（c≠0）的圖象相交于點(diǎn)B（3，2）、C（-1，n）．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式； 
（2）根據(jù)圖象，直接寫(xiě)出y₁＞y₂時(shí)x的取值范圍；
（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAB為直角三角形？如果存在，請(qǐng)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)C坐標(biāo)，最后用再用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；
（2）利用圖象直接得出結(jié)論；
（3）分三種情況，利用勾股定理或銳角三角函數(shù)的定義建立方程求解即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）
把B（3，2）代入${y_2}=\frac{k}{x}$得：k=6
∴反比例函數(shù)解析式為：${y_2}=\frac{6}{x}$
把C（-1，n）代入${y_2}=\frac{6}{x}$，得：
n=-6
∴C（-1，-6）
把B（3，2）、C（-1，-6）分別代入y₁=ax+b，得：$\left\{\begin{array}{l}3a+b=2\\-a+b=-6\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-4\end{array}\right.$
所以一次函數(shù)解析式為y₁=2x-4

（2）
由圖可知，當(dāng)寫(xiě)出y₁＞y₂時(shí)x的取值范圍是-1＜x＜0或者x＞3．

（3）y軸上存在點(diǎn)P，使△PAB為直角三角形
如圖，

過(guò)B作BP₁⊥y軸于P₁，
∠B P₁ A=0，△P₁AB為直角三角形
此時(shí)，P₁（0，2）
過(guò)B作BP₂⊥AB交y軸于P₂
∠P₂BA=90，△P₂AB為直角三角形
在Rt△P₁AB中，
$\begin{array}{l}AB=\sqrt{{P_1}{B^2}+{P_1}{A^2}}\\=\sqrt{{3^2}+{{（2+4）}^2}}\\=3\sqrt{5}\end{array}$
在Rt△P₁ AB和Rt△P₂ AB
$\begin{array}{l}∵cos∠{P_2}AB=cos∠{P_1}AB∴\frac{AB}{{{P_2}A}}=\frac{{{P_1}A}}{AB}\\∴{P_2}A=\frac{{A{B^2}}}{{{P_1}A}}=\frac{{{{（3\sqrt{5}）}^2}}}{6}=\frac{15}{2}\end{array}$
∴${P_2}O={P_2}A-OA=\frac{15}{2}-4=\frac{7}{2}$
∴P₂（0，$\frac{7}{2}$）
綜上所述，P₁（0，2）、P₂（0，$\frac{7}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，利用圖象確定函數(shù)值滿(mǎn)足條件的自變量的范圍，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法的應(yīng)用，解（2）的關(guān)鍵是利用函數(shù)圖象確定x的范圍，解（3）的關(guān)鍵是分類(lèi)討論．