Question

1．如圖，紙片ABCD是一個(gè)菱形，其邊長為2，∠BAD=120°．以點(diǎn)A為圓心的扇形與邊BC相切于點(diǎn)E，與AB、AD分別相交于點(diǎn)F、G；
（1）請你判斷所作的扇形與邊CD的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若以所作出的扇形為側(cè)面圍成一個(gè)圓錐，求該圓錐的全面積．

Answer 1

分析 （1）連接AE、AC，過點(diǎn)A作AH⊥CD，垂足為H，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AE⊥BC，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC平分∠BAD，由角平分線的性質(zhì)得到AE=AH，于是結(jié)論可得；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)求出AE的長，根據(jù)弧長公式求出$\widehat{FG}$的長，得到圓錐的側(cè)面積，求出圓錐的底半徑得到圓錐的底面積即可．

解答 解：（1）相切；
證明：連接AE、AC，過點(diǎn)A作AH⊥CD，垂足為H，
∵CB與⊙A相切，
∴AE⊥BC，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC平分∠BAD，
∴AE=AH，
∴扇形與邊CD相切；
（2）∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，
∴△ABC是等邊三角形，又其邊長為2，
∴AE=$\sqrt{3}$，
∴$\widehat{FG}$的長為$\frac{120×π×\sqrt{3}}{180}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π，
則圓錐的側(cè)面積為：$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π×$\sqrt{3}$=π，
設(shè)圓錐的底半徑為r，2πr=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π，
解得，r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則圓錐的底面積為：π×（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{π}{3}$，
該圓錐的全面積=π+$\frac{π}{3}$=$\frac{4}{3}$π．

點(diǎn)評 本題考查的是菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、扇形的弧長公式、扇形的面積公式，靈活運(yùn)用相關(guān)定理和性質(zhì)以及公式是解題的關(guān)鍵．