Question

9．如圖，∠ABC=90°，D、E分別在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，F(xiàn)D與AB相交于點(diǎn)M．
（1）求證：MF⊥AC；
（2）AD與MC垂直嗎？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）只要證明△ADE是等腰直角三角形即可解決問題；
（2）結(jié)論：AD⊥MC．首先證明△DFC≌△AFM（AAS），推出CF=MF，再證明DE∥CM，由AD⊥DE，即可推出AD⊥CM．

解答 （1）證明：∵AD⊥DE，AD=DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∵AF=EF，
∴DF⊥AE，
即MF⊥AC．

（2）解：結(jié)論：AD⊥MC．
理由：∵△ADE是等腰直角三角形，F(xiàn)是AE中點(diǎn)，
∴DF⊥AE，DF=AF=EF，
又∵∠ABC=90°，
∠DCF，∠AMF都與∠MAC互余，
∴∠DCF=∠AMF，
在△DFC和△AFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCF=∠AMF}\\{∠CFD=∠MFA}\\{DF=AF}\end{array}\right.$，
∴△DFC≌△AFM（AAS），
∴CF=MF，∵∠MFC=90°
∴∠FCM=∠AED=45°，
∴DE∥CM，∵⊥DE，
∴AD⊥CM．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考�？碱}型．