Question

10．如圖，已知拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（-3，0），與y軸交于點(diǎn)C，且OC=OB．
（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；
（2）若點(diǎn)E為第二象限拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE，CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，若線(xiàn)段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好也落在此拋物線(xiàn)上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）已知拋物線(xiàn)過(guò)A、B兩點(diǎn)，可將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中，用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；
（2）由于四邊形BOCE不是規(guī)則的四邊形，因此可將四邊形BOCE分割成規(guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算，過(guò)E作EF⊥x軸于F，四邊形BOCE的面積=三角形BFE的面積+直角梯形FOCE的面積．直角梯形FOCE中，F(xiàn)O為E的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，EF為E的縱坐標(biāo)，已知C的縱坐標(biāo)，就知道了OC的長(zhǎng)．在三角形BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的橫坐標(biāo)表示出BF的長(zhǎng)．如果根據(jù)拋物線(xiàn)設(shè)出E的坐標(biāo)，然后代入上面的線(xiàn)段中，即可得出關(guān)于四邊形BOCE的面積與E的橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得四邊形BOCE的最大值及對(duì)應(yīng)的E的橫坐標(biāo)的值．即可求出此時(shí)E的坐標(biāo)；
（3）由P在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，設(shè)出P坐標(biāo)為（-1，m），如圖所示，過(guò)A′作A′N(xiāo)⊥對(duì)稱(chēng)軸于N，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到一對(duì)邊相等，再由同角的余角相等得到一對(duì)角相等，根據(jù)一對(duì)直角相等，利用AAS得到△A′N(xiāo)P≌△PMA，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到A′N(xiāo)=PM=|m|，PN=AM=2，表示出A′坐標(biāo)，將A′坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式中求出相應(yīng)m的值，即可確定出P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（-3，0），
∴OB=3，
∵OC=OB，
∴OC=3，
∴c=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+3=0}\\{9a-3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴所求拋物線(xiàn)解析式為：y=-x²-2x+3；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)E（a，-a²-2a+3）（-3＜a＜0），
∴EF=-a²-2a+3，BF=a+3，OF=-a，
∴S_{四邊形BOCE}=$\frac{1}{2}$BF•EF+$\frac{1}{2}$（OC+EF）•OF，
=$\frac{1}{2}$（a+3）•（-a²-2a+3）+$\frac{1}{2}$（-a²-2a+6）•（-a），
=-$\frac{3}{2}{a}^{2}$-$\frac{9}{2}$a+$\frac{9}{2}$，
=-$\frac{3}{2}$（a+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{63}{8}$，
∴當(dāng)a=-$\frac{3}{2}$時(shí)，S_{四邊形BOCE}最大，且最大值為$\frac{63}{8}$．
此時(shí)，點(diǎn)E坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；

（3）∵拋物線(xiàn)y=-x²-2x+3的對(duì)稱(chēng)軸為x=-1，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，
∴設(shè)P（-1，m），
∵線(xiàn)段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好也落在此拋物線(xiàn)上，
①當(dāng)m≥0時(shí)，
∴PA=PA₁，∠APA₁=90°，
如圖3，過(guò)A₁作A₁N⊥對(duì)稱(chēng)軸于N，設(shè)對(duì)稱(chēng)軸于x軸交于點(diǎn)M，
∴∠NPA₁+∠MPA=∠NA₁P+∠NPA₁=90°，
∴∠NA₁P=∠NPA，
在△A₁NP與△PMA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A′N(xiāo)P=∠PMA=90°}\\{∠NA′P=∠MPA}\\{PA′=AP}\end{array}\right.$，
∴△A₁NP≌△PMA，
∴A₁N=PM=m，PN=AM=2，
∴A₁（m-1，m+2），
代入y=-x²-2x+3得：m+2=-（m-1）²-2（m-1）+3，
解得：m=1，m=-2（舍去），
②當(dāng)m＜0時(shí)，要使P₂A=P₂A，₂，由圖可知A₂點(diǎn)與B點(diǎn)重合，
∵∠AP₂A₂=90°，∴MP₂=MA=2，
∴P₂（-1，-2），
∴滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（-1，1）或（-1，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)，四邊形的面積，綜合性較強(qiáng)，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．