Question

19．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上（端點(diǎn)除外）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC．設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F，連接AE、AF．
（1）那么當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說明理由．
（2）在（1）的前提下△ABC滿足什么條件，四邊形AECF是正方形？（直接寫出答案，無需證明）

Answer 1

分析 （1）由于CE平分∠BCA，那么有∠1=∠2，而MN∥BC，利用平行線的性質(zhì)有∠1=∠3，等量代換有∠2=∠3，于OE=OC，同理OC=OF，于是OE=OF，而OA=OC，那么可證四邊形AECF是平行四邊形，又CE、CF分別是∠BCA及其外角的角平分線，易證∠ECF是90°，從而可證四邊形AECF是矩形．
（2）由（1）得出四邊形AECF是矩形，再由平行線得出AC⊥EF，得出四邊形AECF是菱形，即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形；理由如下：如圖所示：
∵CE平分∠BCA，
∴∠1=∠2，
又∵M(jìn)N∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴EO=CO，
同理，F(xiàn)O=CO，
∴EO=FO，
又∵OA=OC，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵CF是∠BCA的外角平分線，
∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，
∴∠1+∠5=∠2+∠4，
又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，
∴∠2+∠4=90°，
∴平行四邊形AECF是矩形．
（2）解：在（1）的前提下，△ABC滿足∠ACB=90°時(shí)，四邊形AECF是正方形；理由如下：
∵由（2）得：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，
∵M(jìn)N∥BC，當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，
∴∠AOE=∠ACB=90°，
∴AC⊥EF，
∴四邊形AECF是菱形，
∴四邊形AECF是正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定；熟練掌握平行線的性質(zhì)和矩形、菱形的判定方法，證明四邊形AECF是菱形是解決（2）的關(guān)鍵．