Question

4．解方程求出兩個(gè)根x₁、x₂，并計(jì)算兩個(gè)根的和與積，完成下表．

方程	x1	x2	x1+x2	x1•x2
9x2-2=0	$\frac{\sqrt{2}}{3}$	-$\frac{\sqrt{2}}{3}$	0
2x2-3x=0	0	$\frac{3}{2}$	$\frac{3}{2}$	0
x2-3x+2=0	1	2	3	2
關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）	$\frac{-b+\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$	$\frac{-b-\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$

（1）補(bǔ)全上述表格；
（2）觀察表格中方程兩個(gè)解的和、兩個(gè)解的積與原方程的系數(shù)之間的關(guān)系有什么規(guī)律？寫出你的結(jié)論；（用文字或式子表達(dá)）
（3）根據(jù)表格中所得的規(guī)律解答：已知x₁，x₂是方程3x²-4x-2=0的兩根，求x₁²+x₂²的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)表中給出的x₁、x₂的值，分別進(jìn)行計(jì)算即可得出答案，從而補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)表；
（2）根據(jù)（1）中的第四行的結(jié)論，推廣到一般進(jìn)行總結(jié)；
（3）根據(jù)（2）得出的 x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，求出x₁+x₂和x₁•x₂的值，再把要求的式子進(jìn)行整理，然后代值計(jì)算即可得出答案．

解答 解：（1）∵x₁=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，x₂=-$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴x₁•x₂=-$\frac{2}{9}$，
∵x₁=$\frac{-b+\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$，x₂=$\frac{-b-\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$，
∴x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$；
填表如下：

方程	x1	x2	x1+x2	x1•x2
9x2-2=0	$\frac{\sqrt{2}}{3}$	-$\frac{\sqrt{2}}{3}$	0	-$\frac{2}{9}$
2x2-3x=0	0	$\frac{3}{2}$	$\frac{3}{2}$	0
x2-3x+2=0	1	2	3	2
關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）	$\frac{-b+\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$	$\frac{-b-\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$	-$\frac{a}$	$\frac{c}{a}$

故答案為：-$\frac{2}{9}$，-$\frac{a}$，$\frac{c}{a}$；

（2）已知：x₁和x₂是方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根，
那么 x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$；

（3）∵x₁，x₂是方程3x²-4x-2=0的兩根，
∴x₁+x₂=-$\frac{a}$=$\frac{4}{3}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$=-$\frac{2}{3}$，
x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=$\frac{16}{9}$-2×（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{28}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟悉一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的猜想過程與證明過程是本題的關(guān)鍵．