Question

5．觀察下列等式：
①$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，②$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，③$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$．
將以上三個(gè)等式兩邊分別相加，得
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
（1）請(qǐng)寫出第④個(gè)式子$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$
（2）猜想并寫出：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
（3）探究并計(jì)算：$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{100×102}$．

Answer 1

分析 （1）規(guī)律：相鄰的兩個(gè)數(shù)的積的倒數(shù)等于它們的倒數(shù)的差，故第四個(gè)式子為：$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$
（2）根據(jù)以上規(guī)律直接寫出即可．
（3）各項(xiàng)提出$\frac{1}{2}$之后即可應(yīng)用（1）中的方法進(jìn)行計(jì)算．

解答 解：（1）答案為：$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$
（2）答案為：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
（3）$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{100×102}$
=$\frac{1}{4}$×（$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{50×51}$）
=$\frac{1}{4}$×$\frac{50}{51}$
=$\frac{25}{102}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律問題，解題的關(guān)鍵是總結(jié)出數(shù)字變化的規(guī)律并加以運(yùn)用．