Question

8．如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交DC于點(diǎn)P，則下列結(jié)論：①圖中全等的三角形只有兩對(duì)；②△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍；③CD+CE=$\sqrt{2}$OA；④AD²+BE²=2OP•OC．其中正確的結(jié)論有（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 找出圖中全等的三角形有3對(duì)，判定（1）；由全等三角形的性質(zhì)可以判斷（2）；利用全等三角形和等腰直角三角形的性質(zhì)可以判斷（3）；利用全等三角形和勾股定理進(jìn)行判斷（4）．

解答 解：圖中全等的三角形有3對(duì)，分別為△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．
由等腰直角三角形的性質(zhì)，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．
∵OC⊥AB，OD⊥OE，
∴∠AOD=∠COE．
在△AOD與△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAD=∠OCE=45°}\\{OA=OC}\\{∠AOD=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△COE（ASA）．
同理可證：△COD≌△BOE．故①錯(cuò)誤．
∵△AOD≌△COE，
∴S_△AOD=S_△COE，
∴S_{四邊形CDOE}=S_△COD+S_△COE=S_△COD+S_△AOD=S_△AOC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
即△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍．故②正確．
結(jié)論③正確，理由如下：
∵△AOD≌△COE，
∴CE=AD，
∴CD+CE=CD+AD=AC=$\sqrt{2}$OA．故③正確．
∵△AOD≌△COE，
∴AD=CE；
∵△COD≌△BOE，
∴BE=CD．
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD²+CE²=DE²，
∴AD²+BE²=DE²．
∵△AOD≌△COE，
∴OD=OE，
又∵OD⊥OE，
∴△DOE為等腰直角三角形，
∴DE²=2OE²，∠DEO=45°．
∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE，
∴△OEP∽△OCE，
∴$\frac{OE}{OC}$=$\frac{OP}{OE}$，即OP•OC=OE²．
∴DE²=2OE²=2OP•OC，故④正確，
綜上所述，正確的結(jié)論是（2）（3）（4）3個(gè)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題是幾何綜合題，考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要幾何知識(shí)點(diǎn)．綜合利用知識(shí)，靈活解決問題．