Question

6．閱讀材料：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x_p，y_p）．由x_p-x₁=x₂-x_p，得x_p=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，同理y_p=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）．由勾股定理得AB²=|x₂-x₁|₂+|y₂-y₁|²，所以A、B兩點(diǎn)間的距離公式為AB=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$．這兩公式對(duì)A、B在平面直角坐標(biāo)系中其它位置也成立．解答下列問(wèn)題：
（1）已知M（1，-2），N（-1，2），直接利用公式填空：MN中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），MN=2$\sqrt{5}$．
如圖2，直線(xiàn)l：y=2x+2與拋物線(xiàn)y=2x²交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)C．
（a）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（b）連結(jié)AB、AC，求證△ABC為直角三角形；
（c）將直線(xiàn)l平移到C點(diǎn)時(shí)得到直線(xiàn)l′，求兩直線(xiàn)l與l′的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩點(diǎn)間的距離公式，可得答案；
（a）根據(jù)解方程組，可得A，B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行于y軸的直線(xiàn)橫坐標(biāo)相等，可得C點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得C點(diǎn)坐標(biāo)；
（b）根據(jù)勾股定理及勾股定理的逆定理，可得答案；
（c）根據(jù)三角形的面積不同表示，可得關(guān)于CD的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）由中點(diǎn)坐標(biāo)，得$\frac{1+（-1）}{2}$=0，$\frac{2+（-2）}{2}$=0，
MN中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），
由兩點(diǎn)間的距離，得
MN=$\sqrt{（1+1）^{2}+（-2-2）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
故答案為：（0，0），2$\sqrt{5}$．

（a）聯(lián)立直線(xiàn)、拋物線(xiàn)，得$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{y=2{x}^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\\{y=3+\sqrt{5}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\\{y=3-\sqrt{5}}\end{array}\right.$，
即B（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，3+$\sqrt{5}$），A（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，3-$\sqrt{5}$）．
由P是AB的中點(diǎn)，得
P（$\frac{1}{2}$，3）
當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，y=2x²=$\frac{1}{2}$，即C點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

（b）AB²=（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$-$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）²+（3+$\sqrt{5}$-3+$\sqrt{5}$）²=25；
BC²=（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$-$\frac{1}{2}$）²+（3+$\sqrt{5}$-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{25}{2}$-5$\sqrt{5}$；
AC²=（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$-$\frac{1}{2}$）²+（3-$\sqrt{5}$-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{25}{2}$+5$\sqrt{5}$，
∵AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°
∴△ABC是直角三角形；

（c）如圖，
作CD⊥AB于D點(diǎn)，CD 是兩直線(xiàn)間的距離，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$AC•BC，
$\frac{1}{2}$×5CD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{25}{2}+5\sqrt{5}}$×$\sqrt{\frac{25}{2}-5\sqrt{5}}$，
解得CD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
兩直線(xiàn)l與l′的距離是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩點(diǎn)間的距離公式；解a的關(guān)鍵是利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出P點(diǎn)坐標(biāo)，又利用了平行于y軸的直線(xiàn)橫坐標(biāo)相等，自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系；解b的關(guān)鍵是利用勾股定理及勾股定理的逆定理，解c的關(guān)鍵是利用面積的不同表示法．