Question

3．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B、C重合），以線段DE為邊長(zhǎng)，作正方形DEFG，使得點(diǎn)F、G落在直線DE的下方，連接AF、BF．當(dāng)△ABF為等腰三角形時(shí)，BE的長(zhǎng)為$\frac{1}{2}$或1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 分兩種情形：①如圖1中，當(dāng)FA=FB時(shí)，由△DCE≌△EMF，推出FM=BM，推出四邊形BMNF是正方形即可解決問(wèn)題．②如圖2中，當(dāng)BA=BF時(shí)，根據(jù)CE=BM=FN即可解決問(wèn)題．

解答 解：①如圖1中，當(dāng)FA=FB時(shí)，作FN⊥AB于N，F(xiàn)M⊥CB于M，
∵四邊形ABCD、DEFG是正方形，
∴∠C=∠DEF=∠M=∠ABC=90°，DE=EF，DC=BC，
∵∠DEC+∠FEM=90°，∠CDE+∠DEC=90°，
∴∠CDE=∠FEM，
在△DCE和△EMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠M}\\{∠CDE=∠FEM}\\{DE=EF}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△EMF，
∴FM=CE，CD=EM=BC，
∴BM=EC=FM，
∴△BMF是等腰直角三角形，
∴∠FBM=∠FBN=45°，
∵∠FNB=90°，F(xiàn)A=FB，
∴AN=BN=NF=$\frac{1}{2}$，
∵∠M=∠MBN=∠BNF=90°，
∴四邊形BMFN是矩形，
∵NF=NB，
∴四邊形BMFN是正方形，
∴BM=FN=CE=EB=$\frac{1}{2}$．
②如圖2中，當(dāng)BA=BF時(shí)，由（1）可知，△BNF是等腰直角三角形，BF=AB=1，
∴BM=CE=FN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴EB=BC-CE=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
③當(dāng)AB=AF時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，不合題意．
故答案為$\frac{1}{2}$或1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考�？碱}型，學(xué)會(huì)添加輔助線的方法．