Question

18．經(jīng)市場調(diào)查，某種商品在第x天（1≤x≤90）的售價與銷量的相關(guān)信息如下表：

時間x（天）	1≤x≤60	60≤x≤90
售價（元/件）	x+40	100
每天銷量（件）	200-2x

已知該商品的進價為每件30元，設(shè)銷售該商品的每天利潤為y元．
（I）分別求出當1≤x＜60和60≤x≤90時，該商品每天利潤y與x之間的函數(shù)表達式．
（2）問銷售該商品第幾天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是多少元？
（3）該商品在銷售過程中，共有多少天每天銷售利潤不低于4800元？請直接寫出結(jié)果．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)單價乘以數(shù)量，可得利潤，可得答案；
（2）根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，可分別得出最大值，根據(jù)有理數(shù)的比較，可得答案；
（3）根據(jù)二次函數(shù)值大于或等于4800，一次函數(shù)值大于或等于48000，可得不等式，根據(jù)解不等式組，可得答案．

解答 解：（1）當1≤x＜60時，y=（200-2x）（x+40-30）=-2x²+180x+2000，
當60≤x≤90時，
y=（200-2x）（100-30）=-140x+14000；

（2）當1≤x＜60時，二次函數(shù)開口向下，二次函數(shù)對稱軸為x=45，
當x=45時，y_最大=-2×45²+180×45+2000=6050，
當60≤x≤90時，y隨x的增大而減小，
當x=60時，y_最大=6000，
綜上所述，該商品第45天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是6050元；

（3）當1≤x＜60時，y=-2x²+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，
因此利潤不低于4800元的天數(shù)是20≤x＜50，共30天；
當60≤x≤90時，y=-140x+14000≥4800，解得x≤80，
因此利潤不低于4800元的天數(shù)是60≤x≤80，共21天，
所以該商品在銷售過程中，共51天每天銷售利潤不低于4800元．

點評 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，利用單價乘以數(shù)量求函數(shù)解析式，利用了函數(shù)的性質(zhì)求最值．