Question

8．銳角△ABC中，AB＞BC＞CA，O、I、H分別是它的外心、內(nèi)心，垂心，已知∠A=60°，求證：（1）∠OIH-∠ABC是一個(gè)定值；（2）∠OIH+∠ACB也是一個(gè)定值．

Answer 1

分析 （1）連接BH并延長(zhǎng)交AC于E，連接CH并延長(zhǎng)交AB于F，作OD⊥AB于D，連接OB、OC、OI、IH，設(shè)∠CBE=α，則∠ACB=90°-α，由圓周角定理得出∠BOD=∠ACB=∠BCE，得出∠ABO=∠OBD=∠CBE=α，∠ABC=∠ABE+α=（90°-∠A）+α=30°+α，證出∠BOC=∠BIC=∠BHC，得出B、O、I、H、C五點(diǎn)共圓，得出∠OBC=∠OCB=30°，∠CIH=∠CBH=α，∠OIC=180°-∠OBC=150°，得出∠OIH=150°+α，即可得出結(jié)論；
（2）∠OIH+∠ACB=（150°+α）+（90°-α）=240°，即可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）連接BH并延長(zhǎng)交AC于E，連接CH并延長(zhǎng)交AB于F，作OD⊥AB于D，連接OB、OC、OI、IH，如圖所示：
設(shè)∠CBE=α，則∠ACB=90°-α，
由圓周角定理得：∠BOD=∠ACB=∠BCE，
∴∠ABO=∠OBD=∠CBE=α，∠ABC=∠ABE+α=（90°-∠A）+α=30°+α，
∵∠BOC=2∠BAC=120°，∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC=120°，∠BHC=∠EHF=180°-∠A=120°，
∴∠BOC=∠BIC=∠BHC，
∴B、O、I、H、C五點(diǎn)共圓，
∴∠OBC=∠OCB=30°，∠CIH=∠CBH=α，∠OIC=180°-∠OBC=150°，
∴∠OIH=150°+α，
∴∠OIH-∠ABC=（150°+α）-（30°+α）=120°，
∴∠OIH-∠ABC是一個(gè)定值；
（2）∠OIH+∠ACB=（150°+α）+（90°-α）=240°，
∴∠OIH+∠ACB也是一個(gè)定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的外心、內(nèi)心、垂心、圓周角定理、五點(diǎn)共圓、垂徑定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，特別是（1）中，需要通過(guò)作多條輔助線證明五點(diǎn)共圓才能得出結(jié)果．