Question

15．若兩個二次函數(shù)圖象的頂點，開口方向都相同，則稱這兩個二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”．
（1）請寫出兩個為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)；
（2）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y₁=2x²-4mx+2m²+1和y₂=ax²+bx+2m²+5，其中y₁的圖象經(jīng)過點A（1，1），y₃=y₁+y₂，若y₃與y₁為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)y₂的表達式，并求出當0≤x≤3時，y₂的最大值．

Answer 1

分析 （1）寫出頂點在原點，開口方向向上的兩個二次函數(shù)解析式即可；
（2）先把A點坐標代入y₁可計算出m=1，則y₁=2x²-4x+3，y₂=ax²+bx+7，y₃=y₁+y₂=（a+2）²+（b-4）x+10，再求出y₁的頂點坐標，根據(jù)新定義得到二次函數(shù)y₃的頂點坐標為（1，1），利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和對稱軸方程得a+2+b-4+10=1，-$\frac{b-4}{2（a+2）}$=1，解得a=7，b=-14，則函數(shù)y₂的表達式為y₂=7x²-14x+7，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求當0≤x≤3時，y₂的最大值．

解答 解：（1）二次函數(shù)y=x²和y=2x²是“同簇二次函數(shù)”；
（2）把A（1，1）代入y₁=2x²-4mx+2m²+1得2-4m+2m²+1=1，解得m=1，
則y₁=2x²-4x+3，y₂=ax²+bx+7，
所以y₃=y₁+y₂=（a+2）²+（b-4）x+10，
而y₁=2x²-4x+3=2（x-1）²+1，即二次函數(shù)y₁的頂點坐標為（1，1），
因為y₃與y₁為“同簇二次函數(shù)”，
所以二次函數(shù)y₃的頂點坐標為（1，1），
則a+2+b-4+10=1，-$\frac{b-4}{2（a+2）}$=1，解得a=7，b=-14，
所以函數(shù)y₂的表達式為y₂=7x²-14x+7，則拋物線y₂的對稱軸為直線x=-$\frac{-14}{2×7}$=1，
當0≤x≤3時，x=3時，y₂的值最大，最大值=7×9-14×3+7=28．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$），對稱軸直線x=-$\frac{2a}$．