Question

14．已知：四邊形ABCD是正方形，E是AB邊上一點，連接DE，過點D作DF⊥DE交BC的延長線于點F，連接EF．

（1）如圖1，求證：DE=DF；
（2）若點D關于直線EF的對稱點為H，連接CH，過點H作PH⊥CH交直線AB于點P．
①在圖2中依題意補全圖形；
②求證：E為AP的中點；
（3）如圖3，連接AC交EF于點M，求$\frac{2AM}{AB+AE}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據正方形的性質和DF⊥DE，證明△DAE≌△DCF，得到DE=DF．
（2）①根據題意補全圖形；
②連接HE，HF，由點H與點D關于直線EF對稱，所以EH=ED，FH=FD．因為DE=DF，所以EH=FH=ED=FD．即四邊形DEHF是菱形．由∠EDF=90°，得到四邊形DEHF是正方形，利用正方形的性質證明△HPE≌△HCF，得到PE=CF，所以AE=PE，得到點E是AP的中點． 
（3）過點F作GF⊥CF交AC的延長線于點G，利用正方形的性質證明△AEM≌△GFM，得到AM=GM，所以AG=2AM，利用勾股定理在Rt△ABC中，得到$AC=\sqrt{2}$AB，同理，在Rt△CFG中，$CG=\sqrt{2}CF$，所以$AG=AC+CG=\sqrt{2}AB+\sqrt{2}CF=\sqrt{2}（AB+CF）=\sqrt{2}（AB+AE）$，所以$2AM=\sqrt{2}（AB+AE）$，即可解答．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠DAE=∠ADC=∠DCB=90°．
∴∠DCF=180°-90°=90°．
∴∠DAE=∠DCF．
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°．
∵∠ADE+∠CDE=90°，∠CDE+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF．
在△DAE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠DCF}\\{DA=DC}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$
∴△DAE≌△DCF．
∴DE=DF． 
（2）①所畫圖形如圖2所示．

②連接HE，HF，如圖3．

∵點H與點D關于直線EF對稱，
∴EH=ED，FH=FD．
∵DE=DF，
∴EH=FH=ED=FD．
∴四邊形DEHF是菱形．
∵∠EDF=90°，
∴四邊形DEHF是正方形． 
∴∠DEH=∠EHF=∠HFD=90°．
∴∠AED+∠PEH=90°，∠HFC+∠DFC=90°．
∵△DAE≌△DCF，
∴∠AED=∠DFC，AE=CF．
∴∠PEH=∠HFC．
∵PH⊥CH，
∴∠PHC=90°．
∵∠PHE+∠EHC=90°，∠EHC+∠FHC=90°，
∴∠PHE=∠FHC．
在△HPE和△HCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEH=∠HFC}\\{EH=FH}\\{∠PHE=∠FHC}\end{array}\right.$，
∴△HPE≌△HCF．
∴PE=CF．
∴AE=PE．
∴點E是AP的中點． 
（3）過點F作GF⊥CF交AC的延長線于點G，如圖4．

則∠GFC=90°．
∵正方形ABCD中，∠B=90°，
∴∠GFC=∠B．
∴AB∥GF．
∴∠BAC=∠G．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=$\frac{1}{2}×$90°=45°．
∴∠BAC=∠BCA=∠FCG=∠G=45°．
∴FC=FG．
∵△DAE≌△DCF，
∴AE=CF．
∴AE=FG．
在△AEM和△GFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AME=∠GMF}\\{∠BAC=∠G}\\{AE=GF}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△GFM．
∴AM=GM．
∴AG=2AM，
在Rt△ABC中，$AC=\sqrt{A{B^2}+B{C^2}}=\sqrt{2A{B^2}}=\sqrt{2}AB$．
同理，在Rt△CFG中，$CG=\sqrt{2}CF$．
∴$AG=AC+CG=\sqrt{2}AB+\sqrt{2}CF=\sqrt{2}（AB+CF）=\sqrt{2}（AB+AE）$．
∴$2AM=\sqrt{2}（AB+AE）$．
∴$\frac{2AM}{AB+AE}=\sqrt{2}$．

點評 本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定定理和性質定理，勾股定理的應用，對稱的性質，解決本題的關鍵是利用正方形的性質得到相等的邊和相等的角，證明三角形全等，作出輔助線也是解決本題的關鍵．