Question

1．如圖，P為邊長為2的正方形ABCD的對角線BD上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，連接EF．給出以下4個結(jié)論：①AP=EF；②AP⊥EF；③EF最短長度為$\sqrt{2}$；④若∠BAP=30°時，則EF的長度為2．其中結(jié)論正確的有（　�。�

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ②③④
• D． ①③④

Answer 1

分析 連接PC，可證得△ABP≌△CBP，結(jié)合矩形的性質(zhì)，可證得PA=EF，國判斷①；延長AP交BC于點(diǎn)G，可證得AP⊥EF，可判斷②；求得AP的最小值即可求得EF的最短長度，可判斷③；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B或點(diǎn)D時，AP有最大值2，則可判斷④；可求得答案．

解答 解：
①如圖，連接PC，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABP=∠CBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP=PC，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，且∠FCE=90°，
∴四邊形PECF為矩形，
∴PC=EF，
∴AP=EF，故①正確；
②延長AP交BC于點(diǎn)G，
由①可得∠PCE=∠PFE=∠BAP，
∵PE∥AB，
∴∠EPG=∠BAP，
∴∠EPG=∠PFE，
∵∠EPF=90°，
∴∠EPG+∠PEF=∠PEG+∠PFE=90°，
∴AP⊥EF，故②正確；
③當(dāng)AP⊥BD時，AP有最小值$\sqrt{2}$，此時P為BD的中點(diǎn)，
由①可知EF=AP，
∴EF的最短長度為$\sqrt{2}$，故③正確；
④當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B或點(diǎn)D位置時，AP=AB=2，
∴EF=AP≤2，
∴當(dāng)∠BAP=30°時，AP＜2，
即EF的長度不可能為2，故④不正確；
綜上可知正確的結(jié)論為①②③，
故選A．

點(diǎn)評 本題主要考查正方形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)，構(gòu)造三角形全等證得AP=EF是解題的關(guān)鍵．