Question

13．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，連接EC，點(diǎn)N是線段AD上的一點(diǎn)，以BN為一邊，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，延長(zhǎng)BD至H，使DH=DN，連接NH．求證：
（1）△EBC是等邊三角形；
（2）AD=DG-DN．

Answer 1

分析 （1）利用“三邊相等”的三角形是等邊三角形證得△EBC是等邊三角形；
（3）利用等邊三角形的性質(zhì)得出∠H=∠2，進(jìn)而得出∠DNG=∠HNB，再求出△DNG≌△HNB即可得出答案．

解答 （1）證明：如圖1所示：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，BC=$\frac{1}{2}$AB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠DBA=∠A=30°．
∴DA=DB．
∵DE⊥AB于點(diǎn)E．
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB．
∴BC=BE．
∴△EBC是等邊三角形；
（2）解：∵∠A=30°，由（1）得DA=DB，．
又∵DE⊥AB于點(diǎn)E．
∴∠2=∠3=60°，
∴∠4=∠5=60°，
又∵DH=DN
∴△NDH是等邊三角形．…（4分）
∴NH=ND，∠H=∠6=60°，
∴∠H=∠2，
∵∠BNG=60°，
∴∠BNG+∠7=∠6+∠7，
即∠DNG=∠HNB，
在△DNG和△HNB中，
$\left\{\begin{array}{l}{DN=HN}\\{∠DNG=∠HNB}\\{∠2=∠H}\end{array}\right.$，
∴△DNG≌△HNB（ASA），
∴DG=HB．
∵HB=HD+DB=DN+AD，
∴DG=DN+AD．
∴AD=DG-DN．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握這些定理是解題的關(guān)鍵．