Question

20．已知：如圖（1）四邊形ABCD和四邊形GCEF為正方形，B、C、E在同一直線．
（1）試判斷BG、DE的位置關系，請直接寫出結論：BG⊥DE；
（2）若正方形GCEF繞C點順時針旋轉到圖（2）的位置，（1）的結論是否仍成立？若成立，給予證明，若不成立？請說明理由．
（3）在圖（2）中，若正方形ABCD的邊長為6，正方形CEFG邊長為3，連結BE，DG求BE²+DG²的值．

Answer 1

分析 （1）根據已知，利用SAS判定△BCG≌△DCE，全等三角形的對應角相等，所以∠CBG=∠CDE，∠BGC=∠DEC，因為∠CBG+∠BGC=90°，所以∠BHE=90°，得出結論；
（2）四邊形ABCD是正方形推出△BCG≌△DCE．全等三角形的對應角相等，所以∠CBG=∠CDE，等量代換得出∠DOH=90°，推出BG⊥DE；
（3）利用勾股定理得出BE²+DG²=OB²+OE²+OG²+OD²=BD²+GE²，進而得出答案即可．

解答 （1）解：延長BG與DE交于點H，
∵四邊形ABCD、四邊形CEFG都是正方形，
∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
∵在△BCG與△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCG=∠DCE}\\{CG=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴∠CBG=∠CDE，∠BGC=∠DEC，
∵∠CBG+∠BGC=90°，
∴∠CBG+∠DEC=90°，
∴∠BHE=90°，
∴BG⊥DE，
故答案為：BG⊥DE．

（2）仍成立．
證明：∵四邊形ABCD、四邊形CEFG都是正方形
∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
∵在△BCG與△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCG=∠DCE}\\{CG=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴∠CBG=∠CDE，
又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DHO=90°，
∴∠DOH=90°，
∴BG⊥DE．

（3）∵BG⊥DE，
∴BE²+DG²=OB²+OE²+OG²+OD²=BD²+GE²，
又∵AB=6，CE=3，
∴BD=6$\sqrt{2}$，GE=3$\sqrt{2}$，
∴BD²+GE=${（6\sqrt{2}）}^{2}$+${（3\sqrt{2}）}^{2}$=90，
∴BE²+DG²=90．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質和勾股定理的應用，熟練利用全等三角形的性質是解此題關鍵．