Question

9．已知a+b=1，ab=-1．設S₁=a+b，S₂=a²+b²，S₃=a³+b³，…，S_n=aⁿ+bⁿ．
（1）計算S₂；
（2）請閱讀下面計算S₃的過程：
a³+b³=
=（a³+b²a）+（b³+a²b）-（b²a+a²b）
=（a²+b²）a+（a²+b²）b-ab（b+a）
=（a+b）（a²+b²）-ab（a+b）
∵a+b=1，ab=-1，∴S₃=a³+b³=（a+b）（a²+b²）-ab（a+b）=1×S₂-（-1）×1=S₂+1=4．
你讀懂了嗎？請你先填空完成（2）中S₃的計算結果，再計算S₄；
（3）猜想并寫出S_n-2，S_n-1，S_n三者之間的數量關系（不要求證明），根據得出的數量關系計算S₉．

Answer 1

分析 （1）根據完全平方公式即可求出S₂；
（2）根據得出的結論，代入即可求出S₃；根據完全平方公式即可求出S₄；
（3）根據（1）（2）求出的結果得出規(guī)律，即可求出答案．

解答 解：（1）S₂=a²+b²=（a+b）²-2ab=1²-2×（-1）=3；

（2）S₃=S₂+1=3+1=4，
故答案為：4；
∵S₄=a⁴+b⁴=（ a²+b²）²-2a²b²=（ a²+b²）²-2（ab）²，
又∵a²+b²═3，ab=-1，
∴S₄=7；

（3）∵S₁=1，S₂=3，S₃=4，S₄=7，
∴S₁+S₂=S₃，S₂+S₃=S₄．
猜想：S_n-2+S_n-1=S_n．
∵S₃=4，S₄=7，
∴S₅=S₃+S₄=4+7=11，
∴S₆=S₄+S₅=7+11=18，
∴S₇=S₅+S₆=11+18=29，
∴S₈=S₆+S₇=18+29=47，
∴S₉=S₈+S₇=47+29=78．

點評 本題考查了整式的混合運算和求值，能根據求出的結果得出規(guī)律是解此題的關鍵，規(guī)律是S_n-2+S_n-1=S_n．