Question

3．（1）如圖，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上，一條直線邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，另一條直角邊交邊DC于點(diǎn)E，求證：PB=PE．
（2）如圖2，移動(dòng)三角板，使三角板的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上，一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，另一條直角邊交邊DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，PB=PE還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得BC=CD，∠ACB=∠ACD=45°，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得∠PBC=∠PDC，PB=PD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得∠PBC+∠PEC=180°，根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)，可得∠PED=∠PDE，根據(jù)等腰三角形的判定，可得答案；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得BC=CD，∠ACB=∠ACD=45°，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得∠PBC=∠PDC，PB=PD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和，可得∠PBC=∠PEC，根據(jù)等腰三角形的判定，可得答案．

解答 （1）證明：如圖1，連接PD，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ACB=∠ACD=45°．
在△PBC和△PDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠ACB=∠ACD}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△PBC≌△PDC  （SAS），
∴∠PBC=∠PDC，PB=PD．
∵∠BPE，∠BCD，∠PBC，∠PEC是圓內(nèi)接四邊形的內(nèi)角，∠BPE+∠BCD=180°，
∴∠PBC+∠PEC=180°，
∴∠PED=∠PDE，
∴PD=PE，
∴PB=PE；
（2）仍然成立，理由如下：
連接PD，如圖2：
，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ACB=∠ACD=45°，
在△PBC和△PDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠ACB=∠ACD}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△PBC≌△PDC  （SAS），
∴∠PBC=∠PDC，PB=PD．
若BC與PE相交于點(diǎn)O，在△PBO和△CEO中，
∠POB=∠EOC，∠OPB=∠OCE，
∠PBC=180°-∠OPB-∠POB，∠PEC=180°-∠EOC-∠OCE，
∴∠PBC=∠PEC，
∴∠PEC=∠PDC，
∴PD=PE，
∴PB=PE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，補(bǔ)角的性質(zhì)，等腰三角形的判定．