Question

2．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E，F(xiàn)分別在AC，AB上，連接EF．
（1）在圖1中，將△ABC的一個角∠A沿EF折疊，使A點落在AB邊上的點D處，若S_{四邊形ECBF}=3S_△EDF，求AE的長；
（2）在圖2中，將△ABC的一個角∠A沿EF折疊，使A點落在BC邊上的點M處，若MF∥CA．
①判斷四邊形AEMF的形狀，并給出證明；②求AE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得：EF⊥AD，可知△AEF是直角三角形，根據(jù)同角的三角函數(shù)得：tan∠A=$\frac{EF}{AF}=\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$，設(shè)EF=3x，AF=4x，根據(jù)已知和面積公式列式：S_△AEF=$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$•3x•4x=$\frac{3}{2}$，求得x的值，可得AE的長；
（2）①根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得：邊形AEMF是菱形；
②由tan∠B=$\frac{FM}{BM}=\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$設(shè)FM=4x，BM=3x，則CM=3-3x，EM=AE=4x，根據(jù)勾股定理列方程得：（4x）²=（4-4x）²+（3-3x）²，求出x的值，求AE的長．

解答 解：（1）如圖1，由折疊得：EF⊥AD，S_△AEF=S_△EFD，
∴tan∠A=$\frac{EF}{AF}=\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$，
設(shè)EF=3x，AF=4x，則AE=5x，
∵S_{四邊形ECBF}=3S_△EDF，
∴S_△ACB=4S_△AEF，
S_△ACB=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
∴4S_△AEF=6，
S_△AEF=$\frac{3}{2}$，
$\frac{1}{2}$•3x•4x=$\frac{3}{2}$，
x₁=-$\frac{1}{2}$（舍），x₂=$\frac{1}{2}$，
∴AE=5x=$\frac{5}{2}$；

（2）①如圖2，四邊形AEMF是菱形，理由是：
由折疊得：AE=EM，AF=FM，∠AEF=∠MEF，
∵FM∥AC，
∴∠AEF=∠MFE，
∴∠MFE=∠MEF，
∴EM=FM，
∴AE=EM=FM=AF，
∴四邊形AEMF是菱形；
②∵FM∥AC，∠C=90°，
∴∠FMB=∠C=90°，
tan∠B=$\frac{FM}{BM}=\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，
設(shè)FM=4x，BM=3x，則CM=3-3x，EM=AE=4x，
∴CE=4-4x，
在Rt△CEM中，EC²+CM²=EM²，
（4x）²=（4-4x）²+（3-3x）²，
9x²-50x+25=0，
（x-5）（9x-5）=0，
x₁=5（舍），x₂=$\frac{5}{9}$，
∴AE=4x=4×$\frac{5}{9}$=$\frac{20}{9}$．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了三角函數(shù)、三角形面積、菱形的性質(zhì)和判定、勾股定理、一元二次方程的解法，本題利用三角函數(shù)的比設(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程可解決問題．