Question

11．如圖，在?ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F，再分別以點B、F為圓心，大于$\frac{1}{2}$BF的相同長為半徑畫弧，兩弧交于點P；連接AP并延長交BC于點E，連接EF，則所得四邊形ABEF是菱形．
（1）根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過程，求證：四邊形ABEF是菱形；
（2）若菱形ABEF的周長為16，AE=4$\sqrt{3}$，求∠C的大�。�

Answer 1

分析 （1）先證明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可證明；
（2）連結BF，交AE于G．根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AB=4，AG=$\frac{1}{2}$AE=2$\sqrt{3}$，∠BAF=2∠BAE，AE⊥BF．然后解直角△ABG，求出∠BAG=30°，那么∠BAF=2∠BAE=60°．再根據(jù)平行四邊形的對角相等即可求出∠C=∠BAF=60°．

解答 解：（1）在△AEB和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{BE=FE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AEF，
∴∠EAB=∠EAF，
∵AD∥BC，
∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，
∴BE=AB=AF．
∵AF∥BE，
∴四邊形ABEF是平行四邊形，
∵AB=BE，
∴四邊形ABEF是菱形；

（2）如圖，連結BF，交AE于G．
∵菱形ABEF的周長為16，AE=4$\sqrt{3}$，
∴AB=BE=EF=AF=4，AG=$\frac{1}{2}$AE=2$\sqrt{3}$，∠BAF=2∠BAE，AE⊥BF．
在直角△ABG中，∵∠AGB=90°，
∴cos∠BAG=$\frac{AG}{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠BAG=30°，
∴∠BAF=2∠BAE=60°．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠C=∠BAF=60°．

點評 本題考查菱形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、作圖-基本作圖等知識，解題的關鍵是全等三角形的證明，解直角三角形，屬于中考�？碱}型．