Question

18．如圖，AB是⊙O的直徑，AO是⊙O₁的直徑，⊙O的弦AD交⊙O₁于點(diǎn)C，BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)E．
（1）求證：AC=CD
（2）若BE與⊙O₁相切，C為切點(diǎn)，AC=2$\sqrt{2}$，求AB•AE的值．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由直徑所對(duì)圓周角的性質(zhì)得到OC⊥AD根據(jù)垂徑定理可證結(jié)論；
（2）由直徑所對(duì)圓周角的性質(zhì)得到∠ACO=90°，∠E=90°，由弦切角的性質(zhì)得到∠ACE=∠AOC，根據(jù)相似三角形的判定證得△ACE∽△AOC，由相似三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論．

解答 （1）證明：連接O₁C，OC，
∵AO是⊙O₁的直徑，
∴∠ACO=90°，即OC⊥AD，
∴AC=CD；

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠E=90°，
∵AO是⊙O₁的直徑，
∴∠ACO=90°，BE與⊙O₁相切，
∴∠ACE=∠AOC，
∴△ACE∽△AOC，
∴$\frac{AO}{AC}$=$\frac{AC}{AE}$，
∵AO=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{\frac{1}{2}AB}{AC}$=$\frac{AC}{AE}$，
∴AB•AE=2AC²=2×（2$\sqrt{2}$）²=16．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓周角、弦切角的性質(zhì)，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，能證得△ACE∽△AOC是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．