Question

15．如圖，已知在四邊形ABCD中，AB∥CD，E為CD的中點(diǎn)，連接AE，BE，AC，AC與BE相交于點(diǎn)O，若CD=2AB=2
（1）求證：四邊形ABCE為平行四邊形；
（2）若BC=CE，AC=$\sqrt{3}$，試判斷四邊形ABCE的形狀，并求△ABE的面積．

Answer 1

分析 （1）由E為CD的中點(diǎn)，得到CE=$\frac{1}{2}$CD，得到AB=CE，根據(jù)平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)菱形的判定定理即可得到?ABCE是菱形，由菱形的性質(zhì)得到AC⊥BE，OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，然后根據(jù)菱形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵E為CD的中點(diǎn)，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD，
∵CD=2AB，
∴AB=CE，
∵AB∥CD，
∴四邊形ABCE為平行四邊形；

（2）解：∵BC=CE，
∴?ABCE是菱形，
∴AC⊥BE，OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵BC=AB=1，
∴BO=$\frac{1}{2}$，
∴BE=1，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$S_菱形ABCE=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，菱形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．