Question

10．已知菱形ABCD的對(duì)角線AC=2$\sqrt{2}$+2，BD=2$\sqrt{2}$-2，求菱形的周長(zhǎng)和面積．

Answer 1

分析 先根據(jù)菱形的性質(zhì)得AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$+1，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$-1，再在Rt△AOB中利用勾股定理計(jì)算出AB=$\sqrt{6}$，然后根據(jù)菱形的周長(zhǎng)定義和面積公式求解．

解答 解：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$+1，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$-1，
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}+1）^{2}+（\sqrt{2}-1）^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴菱形的周長(zhǎng)=4AB=4$\sqrt{6}$；
菱形的面積=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$•（2$\sqrt{2}$+2）（2$\sqrt{2}$-2）=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半．