Question

如圖①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E是AC上一點，且AE=nEC，AF⊥BE于G，交BC于F．
（1）作AD⊥BC于D，交BE于H，求證：△ABH≌△CAF．
（2）連接EF，當n=

 

時，∠AEB=∠CEF（直接寫出結(jié)論，不必證明）
（3）如圖②，M是EC的中點，連接MF，當∠AEB=∠CMF時，求n的值．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB=AC，∠BAH=∠C=45°，根據(jù)等角的余角相等可得∠ABH=∠CAF，根據(jù)ASA可證△ABH≌△CAF．
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AH=CF，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠HAE=∠C，再根據(jù)∠AEB=∠CEF，由AAS證明△AHE≌△CFE，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解；
（3）過A點作AD⊥BC于D，交BE于H，通過ASA可證△ABH≌△CAF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AH=CF，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠HAE=∠C，再根據(jù)∠AEB=∠CMF，由AAS證明△AHE≌△CFM，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和中點的定義即可求解．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，
∴AB=AC，∠HAE=∠BAH=∠C=45°，∠ABE+∠AEB=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠GAE+∠AEB=90°，
∴∠ABH=∠CAF，
在△ABH與△CAF中，

∠BAH=∠C AB=AC ∠ABH=∠CAF

，
∴△ABH≌△CAF（ASA）；
（2）∵△ABH≌△CAF，
∴AH=CF，
在△AHE與△CFE中，

∠AEB=∠CEF ∠HAE=∠C AH=CF

，
∴△AHE≌△CFE（AAS），
∴AE=CE，
∴n=1．
（3）過A點作AD⊥BC于D，交BE于H，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，
∴AB=AC，∠HAE=∠BAH=∠C=45°，∠ABE+∠AEB=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠GAE+∠AEB=90°，
∴∠ABH=∠CAF，
在△ABH與△CAF中，

∠BAH=∠C AB=AC ∠ABH=∠CAF

，
∴△ABH≌△CAF（ASA）；
∴AH=CF，
在△AHE與△CFM中，

∠HAE=∠C ∠AEB=∠CMF AH=CF

，
∴△AHE≌△CFM（AAS），
∴AE=CM，
∵M是EC的中點，
∴CM=

1

2

EC
∴n=

1

2

．
故答案為：1．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ABH≌△CAF和△AHE≌△CFE和△AHE≌△CFM是解題的關(guān)鍵．