Question

2．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，直線y=kx+n（k≠0）經(jīng)過B，C兩點，已知A（1，0），C（0，3），且BC=5．
（1）分別求直線BC和拋物線的解析式（關(guān)系式）；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得以B，C，P三點為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由C的坐標確定出OC的長，在直角三角形BOC中，利用勾股定理求出OB的長，確定出點B坐標，把B與C坐標代入直線解析式求出k與n的值，確定出直線BC解析式，把A與B坐標代入拋物線解析式求出a的值，確定出拋物線解析式即可；
（2）在拋物線的對稱軸上不存在點P，使得以B，C，P三點為頂點的三角形是直角三角形，如圖所示，分兩種情況考慮：當PC⊥CB時，△PBC為直角三角形；當P′B⊥BC時，△BCP′為直角三角形，分別求出P的坐標即可．

解答 解：（1）∵C（0，3），即OC=3，BC=5，
∴在Rt△BOC中，根據(jù)勾股定理得：OB=$\sqrt{B{C}^{2}-O{C}^{2}}$=4，即B（4，0），
把B與C坐標代入y=kx+n中，得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{3}{4}$，n=3，
∴直線BC解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3；
由A（1，0），B（4，0），設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）（x-4）=ax²-5ax+4a，
把C（0，3）代入得：a=$\frac{3}{4}$，
則拋物線解析式為y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3；

（2）存在．
如圖所示，分兩種情況考慮：
∵拋物線解析式為y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3，
∴其對稱軸x=-$\frac{2a}$=-$\frac{-\frac{15}{4}}{2×\frac{3}{4}}$=$\frac{5}{2}$．
當P₁C⊥CB時，△P₁BC為直角三角形，
∵直線BC的斜率為-$\frac{3}{4}$，
∴直線P₁C斜率為$\frac{4}{3}$，
∴直線P₁C解析式為y-3=$\frac{4}{3}$x，即y=$\frac{4}{3}$x+3，
與拋物線對稱軸方程聯(lián)立得$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{4}{3}x+3\\ x=\frac{5}{2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2}\\ y=\frac{19}{3}\end{array}\right.$，
此時P（$\frac{5}{2}$，$\frac{19}{3}$）；
當P₂B⊥BC時，△BCP₂為直角三角形，
同理得到直線P₂B的斜率為$\frac{4}{3}$，
∴直線P₂B方程為y=$\frac{4}{3}$（x-4）=$\frac{4}{3}$x-$\frac{16}{3}$，
與拋物線對稱軸方程聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{4}{3}x-\frac{16}{3}\\ x=\frac{5}{2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2}\\ y=-2\end{array}\right.$，
此時P₂（$\frac{5}{2}$，-2）．
綜上所示，P₁（$\frac{5}{2}$，$\frac{19}{3}$）或P₂（$\frac{5}{2}$，-2）．
當點P為直角頂點時，設(shè)P（$\frac{5}{2}$，y），
∵B（4，0），C（0，3），
∴BC=5，
∴BC²=PC²+PB²，即25=（$\frac{5}{2}$）²+（y-3）²+（$\frac{5}{2}$-4）²+y²，解得y=$\frac{3±2\sqrt{6}}{2}$，
∴P₃（$\frac{5}{2}$，$\frac{3+2\sqrt{6}}{2}$），P₄（$\frac{5}{2}$，$\frac{3-2\sqrt{6}}{2}$）．
綜上所述，P₁（$\frac{5}{2}$，$\frac{19}{3}$），P₂（$\frac{5}{2}$，-2），P₃（$\frac{5}{2}$，$\frac{3+2\sqrt{6}}{2}$），P₄（$\frac{5}{2}$，$\frac{3-2\sqrt{6}}{2}$）．

點評 此題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及兩直線垂直時斜率的關(guān)系，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．