Question

10．如圖，已知⊙O的半徑為R，C、D是直徑AB的同側(cè)圓周上的兩點，弧AC的度數(shù)為100°弧BC=2弧BD，動點P在線段AB上，則PC+PD的最小值為（　　）

• A． R
• B． $\sqrt{2}$R
• C． $\sqrt{3}$R
• D． $\frac{\sqrt{5}}{2}$R

Answer 1

分析 作點D關(guān)于AB的對稱點D′，連接CD′與AB的交點即為所求的點P，CD′的長度為PC+PD的最小長度，求出弧BC的度數(shù)，再求出弧BD的度數(shù)，從而得到弧CD′的度數(shù)，連接OD′，過點O作OE⊥CD′，然后根據(jù)垂徑定理求解即可．

解答 解：如圖，作點D關(guān)于AB的對稱點D′，連接CD′，
由軸對稱確定最短路線問題，CD′與AB的交點即為所求的點P，CD′的長度為PC+PD的最小長度，
∵弧AC的度數(shù)為100°，
∴弧BC的度數(shù)為180°-100°=80°，
∵弧BC=2弧BD，
∴弧BD的度數(shù)=$\frac{1}{2}$×80°=40°，
∴弧CD′的度數(shù)=80°+40°=120°，
連接OD′，過點O作OE⊥CD′，
則∠COD′=120°，OE垂直平分CD′，
∴CD′=2CE=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$R=$\sqrt{3}$R．
故選C．

點評 本題考查了軸對稱確定最短路線問題，垂徑定理，解直角三角形，熟練掌握最短路線的確定方法，找出點P的位置是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．