Question

8．如圖．在Rt△ABC中．∠ACB=90°．∠ABC=30°，AB=6．點D是BC邊上一動點，連接AD．將△ACD沿AD折疊．點C落在點C₁處．連接C₁B．若△BDC₁為直角三角形．則BD=2$\sqrt{3}$或3$\sqrt{3}$-3．

Answer 1

分析 分兩種情況進行討論：當點C₁在AB上時，△BDC₁為直角三角形；當∠ADC=45°時，△BDC₁為直角三角形，分別根據含30°角的直角三角形的性質以及勾股定理進行計算即可．

解答 解：如圖所示，當點C₁在AB上時，∠AC₁D=∠C=90°，

∴∠BC₁D=90°，即△BDC₁為直角三角形，
∵∠ABC=30°，AB=6，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=3，BD₁=2DC₁=2CD，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴BD=$\frac{2}{3}$BC=2$\sqrt{3}$；
如圖所示，當∠ADC=45°時，∠CDC₁=90°，此時△BDC₁為直角三角形，

∵∠C=90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD=AC=3，
而BC=3$\sqrt{3}$，
∴BD=BC-CD=3$\sqrt{3}$-3．
故答案為：2$\sqrt{3}$或3$\sqrt{3}$-3．

點評 本題主要考查了折疊問題以及含30°角的直角三角形的性質的運用，解題時注意：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半；翻折變換（折疊問題）實質上就是軸對稱變換．