Question

16．四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠ACB=45°，∠ACD=30°，O為AC中點，AC、BD交于點E，AG⊥BD于G，CF⊥BD于F，連接OG、OF，以下結(jié)論：
①FG=CF-AG；②S_{四邊形ABCD}=$\frac{1}{2}$BD²；③CE=2AE；④OG=OF；其中正確的有①②④．

Answer 1

分析 根據(jù)全等三角形的性質(zhì)．直角三角形斜邊中線的性質(zhì)一一判斷即可．

解答 解：如圖連接OD，OB．
∵AG⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AGB=∠BFC=90°，
∠GAB+∠ABG=90°，
∵∠FBC+∠ABG=90°，
∴∠GAB=∠FBC，
∵AB=BC，
∴△AGB≌△BFC，
∴AG=BF，BG=CF，
∴FG=BG-BF=CF-AG，故①正確，
∵O為AC中點，
∴BO⊥AC，OD=OB=OA=OC，
∴∠BOC=∠BFC=90°，∠ODB=∠OBD，∠ODC=∠OCD，∠OBD=∠OCF，
∵∠ODB=∠OCF，
∴∠CDF=∠DCF，
∵∠CFD=90°，F(xiàn)C=DF，
∵FC=BG，
∴BG=DF，
∴DG=BF=AG，
∴S_{四邊形ABCD}=$\frac{1}{2}$•BD•（AG+CF）=$\frac{1}{2}$•BD•（DG+BG）=$\frac{1}{2}$BD²，故②正確，
由①可知AG∥CF，$\frac{CE}{AE}$=$\frac{CF}{AG}$=$\frac{CF}{BF}$=$\sqrt{3}$，故③錯誤，
由以上可知，△BOF≌△DOG，
∴OG=OF，故④正確，
故答案為①②④．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，正確尋找全等三角形解決問題．