Question

13．如圖所示，在小山頂上有一座信號(hào)發(fā)射塔MN，在山坡坡腳A處測(cè)得塔尖點(diǎn)N的仰角為45°，某人沿坡度為i=1：$\sqrt{3}$坡面上山，行走200米到B處，測(cè)得塔尖點(diǎn)N的仰角為60°，已知A，B，M在同一條直線上，求：
（1）求點(diǎn)B處的垂直高度；
（2）求發(fā)射塔MN的高度．（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AB的長(zhǎng)和坡度，利用銳角三角函數(shù)可以求得點(diǎn)B處的垂直高度；
（2）作出合適的輔助線，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)即可求得發(fā)射塔MN的高度．

解答 解：（1）作BD⊥AC于點(diǎn)D，
∵坡度i=1：$\sqrt{3}$，
∴tan∠BAD=$\frac{BD}{AD}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAD=30°，
∵AB=200米，
∴BD=AB•sin30°=200×$\frac{1}{2}$=100米，
答：點(diǎn)B處的垂直高度是100米；
（2）作BE∥AC交NM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
由題意可得，
∠NAC=45°，∠NBE=60°，
∵∠BAD=30°，
∴∠NAB=15°，∠BNE=30°，∠ANE=45°，
∴∠NAB=∠ANB=15°，
∴AB=BN，
∴BN=200，
∴BE=BN•sin∠BNE=100，NE=BN•cos∠BNE=100$\sqrt{3}$，
∴ME=BE•tan∠MBE=100×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{100\sqrt{3}}{3}$，
∴MN=NE-ME=100$\sqrt{3}$-$\frac{100\sqrt{3}}{3}$=$\frac{200\sqrt{3}}{3}$，
答：發(fā)射塔MN的高度是$\frac{200\sqrt{3}}{3}$米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用銳角三角函數(shù)解答．