Question

5．如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點E，BF平分∠ABC，交AD于點F，AE與BF交于點P，連接EF，PD．
（1）求證：四邊形ABEF是菱形；
（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求PD．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是平行四邊形，得到AD∥BC，從而得到∠AFB=∠FBE，再由∠ABF=∠FBE，推出∠ABF=∠AFB，于是得到AB=AF，同理得出AB=BE，于是得出結論；
（2）由菱形的性質得出AE⊥BF，得到∠ABF=30°，∠BAP=∠FAP=60°從而得出AP=2，過點P作PM⊥AD于M，得到PM=$\sqrt{3}$，AM=1，從而得到，DM=5，于是推出結論．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB=∠FBE，
∵∠ABF=∠FBE，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
同理AB=BE，
∴四邊形ABEF是菱形；

（2）∵四邊形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABF=30°，∠BAP=∠FAP=60°，
∵AB=4，
∴AP=2，
如圖，過點P作PM⊥AD于M，
∴PM=$\sqrt{3}$，AM=1，
∵AD=6，
∴DM=5，
∴PD=$\sqrt{{PM}^{2}{+DM}^{2}}$=$\sqrt{{（\sqrt{3}）}^{2}{+5}^{2}}$=2$\sqrt{7}$．

點評 本題主要考查了平行四邊形的性質，平行線的性質和菱形的判定，特殊三角形的性質，通過等量代換推出角相等推出等腰三角形是解決問題的關鍵．