Question

15．如圖，拋物線y=ax²-2x+c（a≠0）與x軸、y軸分別交于點A，B，C三點，已知點A（-2，0），點C（0，-8），點D是拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）如圖1，拋物線的對稱軸與x軸交于點E，第四象限的拋物線上有一點P，將△EBP沿直線EP折疊，使點B的對應點B'落在拋物線的對稱軸上，求點P的坐標；
（3）如圖2，設BC交拋物線的對稱軸于點F，作直線CD，點M是直線CD上的動點，點N是平面內(nèi)一點，當以點B，F(xiàn)，M，N為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）將點A、點C的坐標代入拋物線的解析式可求得a、c的值，從而得到拋物線的解析式，最后利用配方法可求得點D的坐標；
（2）將y=0代入拋物線的解析式求得點B的坐標，然后由拋物線的對稱軸方程可求得點E的坐標，由折疊的性質(zhì)可求得∠BEP=45°，設直線EP的解析式為y=-x+b，將點E的坐標代入可求得b的值，從而可求得直線EP的解析式，最后將直線EP的解析式和拋物線的解析式聯(lián)立組成方程組求解即可；
（3）先求得直線CD的解析式，然后再求得直線CB的解析式為y=k₂x-8，從而可求得點F的坐標，設點M的坐標為（a，-a-8），然后分為MF=MB、FM=FB兩種情況列方程求解即可．

解答 解：（1）將點A、點C的坐標代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+4+c=0}\\{c=-8}\end{array}\right.$，
解得：a=1，c=-8．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-8．
∵y=（x-1）²-9，
∴D（1，-9）．
（2）將y=0代入拋物線的解析式得：x²-2x-8=0，解得x=4或x=-2，
∴B（4，0）．
∵y=（x-1）²-9，
∴拋物線的對稱軸為x=1，
∴E（1，0）．
∵將△EBP沿直線EP折疊，使點B的對應點B'落在拋物線的對稱軸上，
∴EP為∠BEF的角平分線．
∴∠BEP=45°．
設直線EP的解析式為y=-x+b，將點E的坐標代入得：-1+b=0，解得b=1，
∴直線EP的解析式為y=-x+1．
將y=-x+1代入拋物線的解析式得：-x+1=x²-2x-8，解得：x=$\frac{1-\sqrt{37}}{2}$或x=$\frac{1+\sqrt{37}}{2}$．
∵點P在第四象限，
∴x=$\frac{1+\sqrt{37}}{2}$．
∴y=$\frac{1-\sqrt{37}}{2}$．
∴P（$\frac{1+\sqrt{37}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{37}}{2}$）．
（3）設CD的解析式為y=kx-8，將點D的坐標代入得：k-8=-9，解得k=-1，
∴直線CD的解析式為y=-x-8．
設直線CB的解析式為y=k₂x-8，將點B的坐標代入得：4k₂-8=0，解得：k₂=2．
∴直線BC的解析式為y=2x-8．
將x=1代入直線BC的解析式得：y=-6，
∴F（1，-6）．
設點M的坐標為（a，-a-8）．
當MF=MB時，（a-4）²+（a+8）²=（a-1）²+（a+2）²，整理得：6a=-75，解得：a=-$\frac{25}{2}$．
∴點M的坐標為（-$\frac{25}{2}$，$\frac{9}{2}$）．
當FM=FB時，（a-1）²+（a+2）²=（4-1）²+（-6-0）²，整理得：a²+a-20=0，解得：a=4或a=-5．
∴點M的坐標為（4，-12）或（-5，-3）．
綜上所述，點M的坐標為（-$\frac{25}{2}$，$\frac{9}{2}$）或（4，-12）或（-5，-3）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、翻折的性質(zhì)、兩點間的距離公式，依據(jù)兩點間的距離公式列出關(guān)于a的方程是解題的關(guān)鍵．