Question

14．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是邊AC上任意一點（點E與點A，C不重合），以CE為一直角邊作Rt△ECD，∠ECD=90°，連接BE，AD．
（1）若CA=CB，CE=CD，
①猜想線段BE，AD之間的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，直接寫出結(jié)論；
②現(xiàn)將圖1中的Rt△ECD繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)銳角α，得到圖2，請判斷①中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
（2）若CA=8，CB=6，CE=3，CD=4，Rt△ECD繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)銳角α，如圖3，連接BD，AE，計算BD²+AE²的值．

Answer 1

分析 （1）①由CA=CB，CE=CD，∠ACB=90°易證△BCE≌△ACD，所以BE=AD，∠BEC=∠ADC，又因為∠EBC+∠BEC=90°，所以∠EBC+∠ADC=90°，即BE⊥AD；
②成立．設(shè)BE與AC的交點為點F，BE與AD的交點為點G，易證△ACD≌△BCE．得到AD=BE，∠CAD=∠CBE．再根據(jù)等量代換得到∠AFG+∠CAD=90°．即BE⊥AD；
（2）易證△ACD∽△BCE．得到∠CAD=∠CBE．再根據(jù)等量代換得到∠AFG+∠CAD=90°，即BE⊥AD，根據(jù)勾股定理得到BD²+AE²=AB²+ED²，即可根據(jù)勾股定理計算．

解答 （1）①BE=AD，BE⊥AD；
證明：在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACB=∠ACD=90°}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，
∵∠EBC+∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ADC=90°，
∴BE⊥AD．
②BE=AD，BE⊥AD仍然成立；
證明：設(shè)BE與AC的交點為點F，BE與AD的交點為點G，如圖1．
∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}AC=BC\\∠ACD=∠BCE\\ CD=CE\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE．
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE．
∵∠BFC=∠AFG，∠BFC+∠CBE=90°，
∴∠AFG+∠CAD=90°．
∴∠AGF=90°．
∴BE⊥AD．
（2）證明：設(shè)BE與AC的交點為點F，BE的延長線與AD的交點為點G，如圖2．
∵∠ACB=∠ECD=90°
∴∠ACD=∠BCE．
∵CA=8，CB=6，CE=3，CD=4，
∴$\frac{CA}{CB}=\frac{CD}{CE}=\frac{4}{3}$．
∴△ACD∽△BCE．
∴∠CAD=∠CBE．
∵∠BFC=∠AFG，∠BFC+∠CBE=90°，
∴∠AFG+∠CAD=90°．
∴∠AGF=90°．
∴BG⊥AD．
∴∠AGE=∠BGD=90°．
∴AE²=AG²+EG²，BD²=BG²+DG²．
∴BD²+AE²=AG²+EG²+BG²+DG²．
∵AG²+BG²=AB²，EG²+DG²=ED²，
∴BD²+AE²=AB²+ED²=CA²+CB²+CD²+CE²=125．

點評 本題屬于幾何綜合變換題，主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的綜合運用，運用類比，在變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．