Question

16．已知：如圖，動(dòng)點(diǎn)P在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上運(yùn)動(dòng)，PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，線段PM、PN分別與直線AB：y=-x+1交于點(diǎn)E、F，且AF•BE的值為1，則k為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)P的坐標(biāo)為（a，$\frac{k}{a}$），且PN⊥OB，PM⊥OA，那么N的坐標(biāo)和M點(diǎn)的坐標(biāo)都可以a表示，那么BN、NF、BN的長(zhǎng)度也可以用a表示，接著F點(diǎn)、E點(diǎn)的也可以a表示，然后利用勾股定理可以分別用a表示AF，BE，最后根據(jù)AF•BE=1，即可得到結(jié)論．

解答 解：作FG⊥x軸，
∵P的坐標(biāo)為（a，$\frac{k}{a}$），且PN⊥OB，PM⊥OA，
∴N的坐標(biāo)為（0，$\frac{k}{a}$），M點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，0），
∴BN=1-$\frac{k}{a}$，
在直角三角形BNF中，∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形），
∴NF=BN=1-$\frac{k}{a}$，
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（1-$\frac{k}{a}$，$\frac{k}{a}$），
同理可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，1-a），
∴AF²=（1-1+$\frac{k}{a}$）²+（$\frac{k}{a}$）²=$\frac{2{k}^{2}}{{a}^{2}}$，BE²=（a）²+（-a）²=2a²，
∴AF²•BE²=$\frac{2{k}^{2}}{{a}^{2}}$•2a²=1，k=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是通過(guò)反比例函數(shù)上的點(diǎn)P來(lái)確定E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而通過(guò)坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的距離公式得出所求的值．