Question

1．M為圓O外一定點，MA、MB是圓O的兩條切線，AB與OM交于N，P為圓O上一動點，求證：$\frac{PN}{PM}$為定值．

Answer 1

分析 連接OP，OB，根據切線的性質得到AM=BM，∠AMO=∠BMO，推出△BON∽△MOB，根據相似三角形的性質得到$\frac{OB}{OM}=\frac{ON}{OB}$，等量代換得到$\frac{OP}{OM}=\frac{ON}{OP}$，通過△POM∽△NOP，得到$\frac{PM}{PN}=\frac{OM}{OP}=\frac{OM}{OB}$，即可得到結論．

解答 解：連接OP，OB，
∵MA、MB是圓O的兩條切線，
∴AM=BM，∠AMO=∠BMO，
∴OM⊥AB，OB⊥MB，
∴∠ONB=∠OBM=90°，∠BON=∠MOB，
∴△BON∽△MOB，
∴$\frac{OB}{OM}=\frac{ON}{OB}$，
∵OP=OB，
∴$\frac{OP}{OM}=\frac{ON}{OP}$，
∵∠POM=∠NOP，
∴△POM∽△NOP，
∴$\frac{PM}{PN}=\frac{OM}{OP}=\frac{OM}{OB}$，
∵OM，OB為定值，
∴$\frac{PN}{PM}$為定值．

點評 本題考查了切線的性質，相似三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．