Question

15．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C的直線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）點(diǎn)M是弧AB的中點(diǎn)，連MA，MB，CM交AB于點(diǎn)N，若AB=4，求MN•MC的值．

Answer 1

分析 （1）已知C在圓上，故只需證明OC與PC垂直即可；根據(jù)圓周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切線；
（2）連接MA，MB，由圓周角定理可得∠ACM=∠BCM，進(jìn)而可得△MBN∽△MCB，故BM²=MN•MC；代入數(shù)據(jù)可得MN•MC=BM²=8．

解答 （1）證明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB．
又∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°，OC⊥CP．
∵OC是⊙O的半徑，
∴PC是⊙O的切線．
（2）解：連接MA，MB，

∵點(diǎn)M是$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，
∴$\widehat{AM}=\widehat{BM}$．
∴∠ACM=∠BCM．
∵∠ACM=∠ABM，
∴∠BCM=∠ABM．
∵∠BMN=∠BMC，
∴△MBN∽△MCB．
∴$\frac{BM}{MC}$=$\frac{MN}{BM}$．
∴BM²=MN•MC．
又∵AB是⊙O的直徑，$\widehat{AM}$=$\widehat{BM}$，
∴∠AMB=90°，AM=BM．
∵AB=4，
∴BM=2$\sqrt{2}$．
∴MN•MC=BM²=8．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查圓的切線的判定及圓周角定理的運(yùn)用和相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，證得BM²=MN•MC是解題的關(guān)鍵．