Question

3．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²-2x+2的圖象與y軸交于點C，以O(shè)C為一邊向左側(cè)作正方形OCBA，點B剛好落在拋物線上．

（1）求a的值；
（2）若點D在二次函數(shù)y=ax²-2x+2的圖象的對稱軸上，點E在二次函數(shù)y=ax²-2x+2的圖象上，是否存在以B，C，D，E四點為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點E坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，把正方形OCBA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)α后得到正方形A₁B₁C₁O（0°＜α＜90°）．在旋轉(zhuǎn)過程中，若點A₁落在二次函數(shù)y=ax²-2x+2的圖象對稱軸上，求出此時的點B₁的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先求出點C的坐標(biāo)，再根據(jù)正方形的邊長相等，得出點B的坐標(biāo)，代入y=ax²-2x+2，即可得出a的值．
（2）分兩種情況求解：①當(dāng)點E在拋物線頂點時；②當(dāng)BC∥DE，且DE=BC=2時，即可求出答案；
（3）由點A₁落在二次函數(shù)對稱軸上，OA₁=2，可得出∠A₁OA=60°，進(jìn)而得出∠BOB₁=60°，求出∠B₁OC=15°，利用三角函數(shù)表示點B₁的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）二次函數(shù)y=ax²-2x+2的圖象與y軸交于點C，
∴C（0，2），
∵以O(shè)C為一邊向左側(cè)作正方形OCBA，點B剛好落在拋物線上．
∴B（-2，2），把B（-2，2）代入y=ax²-2x+2，得2=4a+4+2，解得a=-1．

（2）①當(dāng)點E在拋物線頂點時，
∵二次函數(shù)的解析式為y=-x²-2x+2．
∴E（-1，3）
∵點D在二次函數(shù)的對稱軸上，
∴當(dāng)E（-1，3）以B，C，D，E四點為頂點的四邊形為平行四邊形
②當(dāng)BC∥DE，且DE=BC=2時，
∵點D在二次函數(shù)的對稱軸上，
∴D的橫坐標(biāo)為-1，
∴設(shè)點E的橫坐標(biāo)為t，則有-1-t=2，或t-（-1）=2，解得t=-3或1．
∴E（-3，-1）或（1，-1）
綜上所述：當(dāng)點E的坐標(biāo)為（-1，3）或（-3，-1）或（1，-1），以B，C，D，E四點為頂點的四邊形為平行四邊形．

（3）如圖1，

∵點A₁落在二次函數(shù)對稱軸上，OA₁=2
∴∠A₁OA=60°，
∴∠BOB₁=60°，
∴∠B₁OC=60°-45°=15°，
∵OB₁=OB=2$\sqrt{2}$，
∴B₁（2$\sqrt{2}$sin15°，2$\sqrt{2}$cos15°）．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，求二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點，正方形的性質(zhì)，配方法，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等腰直角三角形的性質(zhì)，難點在于第（2）小題的兩個小題都要分情況討論，并且運(yùn)算量較大．