Question

13．如圖：在平面直角坐標系中，直線y=$\frac{4}{3}$x-4與坐標軸交于A、B兩點
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）如圖：將△AOB關于x軸對稱得到△AOB′，再將△AOB′沿著x軸向右平移m個單位得到△A″O″B″，且直線AB″交y軸于點D
①當S_△ADB=S_△AOD時，求m的值；
②當點D到直線OA，AB的距離相等時，求m的值．（請結(jié)合備用圖，自己作圖并求解）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)y=$\frac{4}{3}$x-4，令x=0，得到y(tǒng)=-4；令y=0，得到x=3，即可解答；
（2）①當S_△ADB=S_△AOD時，即D為OB的中點，確定D（0，-2），利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式y(tǒng)=$\frac{2}{3}$x-2，由已知得B′（O，4），所以B″（m，4），代入解析式可得$\frac{2}{3}$m-2=4，解得m=9；
②分兩種情況解答：當D在y軸負半軸時，；當點D在y軸正半軸；分別求出直線AD的解析式，把B″（m，4）代入解析式，即可求出m的值．

解答 解：（1）∵y=$\frac{4}{3}$x-4，
∴令x=0，得到y(tǒng)=-4；令y=0，得到x=3，
則A（3，0），B（0，4）；
（2）①∵S_△ADB=S_△AOD，
∴D是OB中點，
∴D（0，-2），
又∵A（3，0），
設直線AD的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{3}}\\{b=-2}\end{array}\right.$
∴直線AD：y=$\frac{2}{3}$x-2，
由已知得B′（O，4），
∴B″（m，4），
∴$\frac{2}{3}$m-2=4，
解得：m=9；
②當D在y軸負半軸時，
在Rt△OAB中，根據(jù)勾股定理得：AB=$\sqrt{O{A^2}+O{B^2}}$=$\sqrt{{3^2}+{4^2}}$=5，
如圖1，過D作DE⊥AB，

設OD=DE=a，
∴OB=4-a，
在Rt△OAD和Rt△EAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=DE}\\{AD=AD}\end{array}\right.$
∴Rt△OAD≌Rt△EAD，
∴AE=OA=3，
∴BE=5-3=2，
在Rt△DBE中，根據(jù)勾股定理得：DE²+BE²=BD²，
∴a²+2²=（4-a）²，
解得：a=$\frac{3}{2}$，
又∵D在y軸負半軸，
∴D（0，-$\frac{3}{2}$），
∴直線AD：y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
把B″（m，4）代入得m=11；
當點D在y軸正半軸，
如圖2，過點D作DF⊥AB于F，

設OD=DF=b，
∴BD=4+b，
在Rt△ADO和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DO=DF}\\{AD=AD}\end{array}\right.$
∴Rt△ADO≌Rt△ADF，
∴AF=OA=3，
∴BF=3+5=8，
在Rt△BDF中，根據(jù)勾股定理得：DF²+BF²=BD²，即b²+8²=（4+b）²，
解得：b=6，
∵D在y軸正半軸
∴D（0，6），
∴直線AD：y=-2x+6，
∴B″（m，4），
代入得m=1，
∴m=11或1．

點評 本題考查一次函數(shù)、全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理、勾股定理的應用，解決本題的關鍵是利用待定系數(shù)法求直線AD的解析式，在（2）中解答②時，注意分類討論思想的應用．