Question

7．如圖，一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A（2，5）和點(diǎn)B（m，1）．
（1）確定這兩個函數(shù)的表達(dá)式；
（2）直線y=ax+b與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P是線段CD上一動點(diǎn)，求點(diǎn)P到點(diǎn)O的最短距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)圖象上當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)特征求出m，得到兩個函數(shù)的表達(dá)式；
（2）作OP⊥AB于P，根據(jù)勾股定理求出CD的長，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（2，5）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴k=10，
則在反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{10}{x}$，
∵點(diǎn)B（m，1）在反比例函數(shù)y=$\frac{10}{x}$的圖象上，
∴m=10，
由題意得，$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=5}\\{10a+b=1}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
則一次函數(shù)解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+6；
（2）作OP⊥AB于P，
當(dāng)x=0時，y=6，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+6與y軸的交點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（0，6），
當(dāng)y=0時，0=-$\frac{1}{2}$x+6，
解得，x=12，
則y=-$\frac{1}{2}$x+6與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（12，0），
∴CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=6$\sqrt{5}$，
則$\frac{1}{2}$×CD×OP=$\frac{1}{2}$×OD×OC，即6$\sqrt{5}$×OP=72，
解得，OP=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、正確求出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．