Question

1．
如圖，已知AM∥BN，∠A=60°．點P是射線AM上一動點（與點A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點C，D．
（1）求∠CBD的度數(shù)；
（2）當(dāng)點P運動時，∠APB與∠ADB之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請寫出它們之間的關(guān)系，并說明理由；若變化，請寫出變化規(guī)律．
（3）當(dāng)點P運動到使∠ACB=∠ABD時，∠ABC的度數(shù)是30°．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出∠ABN=120°，再根據(jù)BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，即可得出∠CBD的度數(shù)；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，再根據(jù)BD平分∠PBN，即可得到∠PBN=2∠DBN進而得出∠APB=2∠ADB；
（3）根據(jù)∠ACB=∠CBN，∠ACB=∠ABD，得出∠CBN=∠ABD，進而得到∠ABC=∠DBN，根據(jù)∠CBD=60°，∠ABN=120°，可求得∠ABC的度數(shù)．

解答 解：（1）∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN=180°，
∵∠A=60°，
∴∠ABN=120°，
∵BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABP，∠DBP=$\frac{1}{2}$∠NBP，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABN=60°；

（2）不變化，∠APB=2∠ADB，
證明：∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN，
∠ADB=∠DBN，
又∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠DBN，
∴∠APB=2∠ADB；

（3）∵AD∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
又∵∠ACB=∠ABD，
∴∠CBN=∠ABD，
∴∠ABC=∠DBN，
由（1）可得，∠CBD=60°，∠ABN=120°，
∴∠ABC=$\frac{1}{2}$（120°-60°）=30°，
故答案為：30°．

點評 本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是掌握：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．