Question

15．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，BC=$\sqrt{6}$，點D是AB上的一點，且AD=$\sqrt{3}$，BD=3，將∠A沿過D點的直線DE對折，點A落在A′的位置，連接BA′、A′C、，若△A′BC是等腰三角形，則∠BA′D=120°或180°或90°．

Answer 1

分析 ①如圖1，當A′B=A′C時，由AA′⊥BC，得到DE⊥BC，根據(jù)平行線的判定定理得到DE∥BC，過A′作A′G⊥AB，求得∠A′DG=180°-75°-75°=30°，A′D=$\sqrt{3}$，于是得到∠BA′D=180°-30°-30°=120°；②如圖2，當BC=A′C時，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BA′=3-$\sqrt{3}$，A′D=$\sqrt{3}$，求得∠BA′D=180°；③如圖3，當BC=A′B時根據(jù)勾股定理得到逆定理得到∠BA′D=90°．

解答 解：①如圖1，

當A′B=A′C時，AA′⊥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE∥BC，
過A′作A′G⊥AB，
∵∠A′DG=180°-75°-75°=30°，A′D=$\sqrt{3}$，
∴DG=$\frac{3}{2}$，
∵G為BD的中點，
∴∠BA′D=180°-30°-30°=120°；
②如圖2，當BC=A′C時，

則△BCA′∽△BAC，
∴$\frac{BC}{BA′}$=$\frac{BA}{BC}$，
∴BA′=3-$\sqrt{3}$，A′D=$\sqrt{3}$，
∴∠BA′D=180°；
③如圖3，當BC=A′B時，
∵BD²=BA²+AD²，

∴∠BA′D=90°．故答案為：120°或180°或90°．

點評 本題考查了翻折變換-折疊問題，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．