Question

11．（1）用計算器計算并驗證sin25°+sin46°與sin71°之間的大小關系：
（2）若α、β、α+β都是銳角，猜想sinα+sinβ與sin（α+β）的大小關系：
（3）請借助如圖的圖形證明上述猜想．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)計算器，可得有理數(shù)的運算，根據(jù)有理數(shù)的大小比較，可得答案；
（2）根據(jù)（1）的結果，可得答案；
（3）根據(jù)正弦函數(shù)，可得$\frac{AB}{OA}$+$\frac{BC}{OB}$，根據(jù)不等式的性質，可得$\frac{BC}{OB}$＞$\frac{BC}{OA}$，根據(jù)三角形三邊的關系，可得AB+BC＞AE，再根據(jù)不等式的性質，可得答案．

解答 解：（1）sin25°+sin46°＞sin71°
sin25°+sin46°=0.423+0.719=1.142，sin71°=0.956，
∴sin25°+sin46°＞sin71°；
（2）sinα+sinβ＞sin（α+β）；
（3）證明：∵sinα+sinβ=$\frac{AB}{OA}$+$\frac{BC}{OB}$，sin（α+β）=$\frac{AE}{OA}$，
∵AB＞OB，
∴$\frac{BC}{OB}$＞$\frac{BC}{OA}$，
∴$\frac{AB}{OB}$+$\frac{BC}{OB}$＞$\frac{AB}{OA}$+$\frac{BC}{OA}$=$\frac{AB+BC}{OA}$．
∵AB+BC＞AE，
∴$\frac{AB+BC}{OA}$＞$\frac{AE}{OA}$，
∴sinα+sinβ＞sin（α+β）．

點評 本題考查了計算器，利用計算得出具體角的三角函數(shù)值，利用不等式的性質得出$\frac{BC}{OB}$＞$\frac{BC}{OA}$是解題關鍵．