Question

6．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)在直線AB上，且AE=AB=BF，連結(jié)CE，DF分別交AD，BC于點(diǎn)M，N．
（1）求證：四邊形DMNC是平行四邊形；
（2）當(dāng)AM=AB時(shí)，求證：?DMNC是菱形．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，AD=BC，AD∥BC，由平行線分線段成比例定理和已知條件得出AM=DM=$\frac{1}{2}$AD，同理BN=CN=$\frac{1}{2}$BC，得出DM=CN，即可得出結(jié)論；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)得出CD=MN，得出MN=AB，證出DM═MN，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，
∵AE=AB，
∴$\frac{AE}{BW}=\frac{AM}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴AM=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD，
∴AM=DM=$\frac{1}{2}$AD，
同理：BN=CN=$\frac{1}{2}$BC，
∴DM=CN，
又∵DM∥CN，
∴四邊形DMNC是平行四邊形；
（2）證明：由（1）得：四邊形DMNC是平行四邊形，
∴CD=MN，
又∵CD=AB，
∴MN=AB，
∵AM=AB，
∴AM=MN，
∵DM=AM，
∴DM═MN，
∴?DMNC是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、平行線分線段成比例定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明DM=MN是解決（2）的關(guān)鍵．