Question

3．在△ABC中，過A點(diǎn)作直線DE∥BC，點(diǎn)P在線段AC上，∠FPM=∠B，且兩邊分別交AB，DE于點(diǎn)F、M

（1）若AC=BC，∠ACB=90°，猜想PF與PM的數(shù)量關(guān)系并證明；
（2）AB=m，BC=n，求$\frac{PF}{PM}$的值．

Answer 1

分析 （1）先由DE∥BC，得出∠DAB=∠B，而∠FPM=∠B，等量代換得到∠DAB=∠FPM，那么四邊形AMPF是圓內(nèi)接四邊形，根據(jù)圓周角定理得出∠PMF=∠PAF=45°，所以△PMF是等腰直角三角形，進(jìn)而得出PM=$\sqrt{2}$PF；
（2）由（1）可知，∠PMF=∠BAC，又∠FPM=∠B，得出△ABC∽△MPF，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得到PF：BC=PM：AB，即$\frac{PF}{PM}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{n}{m}$．

解答 解：（1）∵DE∥BC，
∴∠DAB=∠B，
∵∠FPM=∠B，
∴∠DAB=∠FPM，
∴四邊形AMPF是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠PMF=∠PAF=45°，
∴△PMF是等腰直角三角形，
∴PM=$\sqrt{2}$PF；

（2）由（1）可知，四邊形AMPF是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠PMF=∠BAC，
∵∠FPM=∠B，
∴△ABC∽△MPF，
∴PF：BC=PM：AB，
即$\frac{PF}{PM}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{n}{m}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，證明四邊形AMPF是圓內(nèi)接四邊形是解題的關(guān)鍵．