Question

2．如圖所示，梯形ABCD的面積為S，AB∥CD，CD=a，AB=b（a＜b），對角線AC，BD交于點(diǎn)O，△BOC面積為$\frac{1}{5}$S，則$\frac{a}$=（　　）

• A． $\frac{3-\sqrt{5}}{3}$
• B． $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}-1}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)S_△COD的面積為S₁，S_△AOB的面積為S₂，由題中條件建立關(guān)于S₁•S₂的方程，解方程得出S₁•S₂之間的關(guān)系，進(jìn)而可求解a、b之間的關(guān)系．

解答 解：設(shè)S_△COD的面積為S₁，S_△AOB的面積為S₂，由S_ABCD=S，
∵AB∥CD，
∴S_△ABD=S_△ABC，
∴S_△ABD-S_△AOB=S_△ABC-S_△AOB，
∴S_△AOD=S_△BOC=$\frac{1}{5}$S，得S₁+S₂=S-2×$\frac{1}{5}$S=$\frac{3}{5}$S，①
∵$\frac{{S}_{1}}{{S}_{△BOC}}$=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{2}}$，
∴S₁•S₂=S_△BOC•S_△AOD=$\frac{1}{25}$S²，②
聯(lián)立①、②$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}{+S}_{2}=\frac{3}{5}S}\\{{S}_{1}{•S}_{2}=\frac{1}{25}{S}^{2}}\end{array}\right.$，
∵△COD∽△AOB，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$，③
∵a＜b，∴S₁＜S₂，解方程組得S₁=$\frac{3-\sqrt{5}}{5}$S，S₂=$\frac{3+\sqrt{5}}{5}$S，
代入③得$\frac{a}$=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
故選B．

點(diǎn)評 本題主要考查了梯形的性質(zhì)以及相似三角形的判定及性質(zhì)以及面積的問題，能夠通過方程的思想建立等式是解答此題的關(guān)鍵．