Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AB∥CD∥x軸，BC∥DE∥y軸，且AB=CD=4，OA=4，DE=2，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿O→E→D→C路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止；若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，且點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位．
（1）當(dāng)P、Q兩點(diǎn)出發(fā)$\frac{11}{2}$s時(shí)，試求△PQC的面積；
（2）設(shè)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，用t的式子表示運(yùn)動(dòng)過程中△OPQ的面積S；
（3）y軸上是否存在點(diǎn)M，使得以O(shè)、B、M三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在請(qǐng)求出∠OBM的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，再求出CP、CQ，然后根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解；
（2）分①0≤t＜4時(shí)點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在OE上，利用三角形面積公式列式即可；
②4≤t＜5時(shí)，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在DE上，過點(diǎn)P作PM∥CD交DE的延長線于M，根據(jù)S_△OPQ=S_梯形OPMB-S_△PMQ-S_△OEQ，列式整理即可；
③5≤t≤6時(shí)，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在CD上，過點(diǎn)P作PF∥CD，過點(diǎn)Q作QF∥OA交PF于F，交OE于G，S_△OPQ=S_梯形OPFG-S_△PFQ-S_△OGQ，列式整理即可得解，
④6＜t＜$\frac{20}{3}$時(shí)，點(diǎn)P，Q都在CD上，直接用三角形的面積公式即可．
（3）分三種先求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用等腰三角形的性質(zhì)直接求出∠OBM．

解答 （1）當(dāng)t=$\frac{11}{2}$s時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為$\frac{11}{2}$，
點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為$\frac{11}{2}$×2=11，
所以，P（4，$\frac{5}{2}$），Q（7，2），
∴CP=$\frac{1}{2}$，CQ=3，
∴S_△CPQ=$\frac{1}{2}$CP•CQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×3=$\frac{3}{4}$，

（2）由題意得，
①
當(dāng)0≤t＜4時(shí)，（如圖1）OA=4，OQ=2t，
S_△OPQ=$\frac{1}{2}$OQ•OA=$\frac{1}{2}$×2t×4=4t；
②
當(dāng)4≤t＜5時(shí)，（如圖2）OE=8，EM=8-t，PM=4，MQ=16-3t，EQ=2t-8，
S_△OPQ=S_梯形OPMB-S_△PMQ-S_△OEQ，
=$\frac{1}{2}$（4+8）×（8-t）-$\frac{1}{2}$×4×（16-3t）-$\frac{1}{2}$×8（2t-8），
=48-8t；
③
當(dāng)5≤t≤6時(shí)，（如圖3）PF=14-2t，F(xiàn)Q=7-t，QG=2，OG=18-2t，F(xiàn)G=8-t，
S_△OPQ=S_梯形OPFG-S_△PFQ-S_△OGQ，
=$\frac{1}{2}$×（14-2t+18-2t）×（8-t）-$\frac{1}{2}$×（14-2t）（7-t）-$\frac{1}{2}$（18-2t）×2，
=t²-16t+61，
④
當(dāng)6＜t＜$\frac{20}{3}$時(shí)，如圖4，PQ=20-3t，DE=2，
S_△OPQ=$\frac{1}{2}$PQ×DE=$\frac{1}{2}$（20-3t）×2=20-3t
綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{4t（0≤t＜4）}\\{48-8t（4≤t＜5）}\\{{t}^{2}-16t+61（5≤t≤6）}\\{20-3t（6＜t＜\frac{20}{3}）}\end{array}\right.$，
（3）如圖，

由題意得點(diǎn)B（4，4），
∴OB=4$\sqrt{2}$，
設(shè)點(diǎn)M（0，m），
∴OM=|m|，BM=$\sqrt{（m-4）^{2}+16}$，
∵以O(shè)、B、M三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，
∴①當(dāng)OB=OM時(shí)，
∴|m|=4$\sqrt{2}$，
∴m=4$\sqrt{2}$或m=-4$\sqrt{2}$，
Ⅰ、m=4$\sqrt{2}$時(shí)，M₁（0，4$\sqrt{2}$），
∴∠OBM₁=$\frac{180°-45°}{2}$=67.5°，
Ⅱ、m=-4$\sqrt{2}$時(shí)，M₂（0，-4$\sqrt{2}$），
∴∠OBM₂=$\frac{∠AOB}{2}$=$\frac{45°}{2}$=22.5°
②當(dāng)OB=PM時(shí)，
∴4$\sqrt{2}$=$\sqrt{（m-4）^{2}+16}$，
∴m=0（舍）或m=8，
∴M₃（0，8），
∴∠BM₃O=∠BOM₃=45°，
∴∠OBM₃=90°
③當(dāng)OM=PM時(shí)，
∴|m|=$\sqrt{（m-4）^{2}+16}$，
∴m=4，
∴M₄（0，4），此時(shí)點(diǎn)M₄和點(diǎn)A重合，
∴∠OBM₄=∠OBA=45°．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形的面積，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，難點(diǎn)在于（3）根據(jù)點(diǎn)P、Q的位置，分情況討論．