Question

13．已知，如圖，把平行四邊形OABC放置于平面直角坐標(biāo)系中，OA落在x軸的正半軸上，OB落在y軸的正半軸上，OA=2，OB=4，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、O、C三點(diǎn)．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）試問在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)T，使得|TO-TC|的值最大？若存在，求出T點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）已知點(diǎn)P為拋物線在第一象限內(nèi)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為x軸上任意一點(diǎn)，若以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得A、C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）三角形兩邊之差大于第三邊，可得O、C、T在同一條直線上，根據(jù)解方程組，可得T點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）分類討論：①當(dāng)△OQP∽△OBC時(shí)，②當(dāng)△OQP∽△CBO時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）由平行四邊形OABC，得
CB=OA=2，A（2，0），C（-2，4）．
將O、A、C的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=0}\\{c=0}\\{4a-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\\{c=0}\end{array}\right.$，
該拋物線的解析式y(tǒng)=$\frac{1}{2}$x²-x；
（2）如圖1，
在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)T，使得|TO-TC|的值最大，
設(shè)OC的解析式為y=kx，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入，得
-2k=4，
解得k=-2，
直線OC的解析式為y=-2x，
聯(lián)立直線OC、對(duì)稱軸，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{x=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
T點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，-2）；
（3）設(shè)Q（a，0），P（a，$\frac{1}{2}$a²-a），
如圖2，
①當(dāng)△OQP∽△OBC時(shí)，$\frac{OQ}{OB}$=$\frac{QP}{BC}$，即$\frac{a}{4}$=$\frac{\frac{1}{2}{a}^{2}-a}{2}$，
化簡(jiǎn)，得
a²-3a=0，
解得a=6，即Q₁（3，0），
②當(dāng)△OQP∽△CBO時(shí)，$\frac{OQ}{BC}$=$\frac{PQ}{OB}$，即$\frac{a}{2}$=$\frac{\frac{1}{2}{a}^{2}-a}{4}$，
化簡(jiǎn)，得$\frac{1}{2}$a²-3a=0，
解得a=6，即Q₂（6，0），
綜上所述：Q₁（3，0），Q₂（6，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，（1）利用了平行四邊形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）利用三角形三邊的關(guān)系得出C、O、T在同一條直線上是解題關(guān)鍵，利用了解二元一次方程組；（3）利用相似三角形的性質(zhì)的出關(guān)于a的方程，要分類討論，以防遺漏．