Question

12．如圖，四邊形ABCD是矩形，E是對角線BD上不同于B，D的任意一點，AF=BE，∠DAF=∠CBD．
（1）求證：AF∥BE；
（2）四邊形DCEF是什么特殊四邊形？清說明理由；
（3）試確定當點E在什么位置時，四邊形AEDF變?yōu)榱庑�？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用平行線的性質結合平行線的判定方法得出即可；
（2）首先得出四邊形ABEF是平行四邊形，進而利用平行四邊形的性質得出EF$\stackrel{∥}{=}$DC進而得出答案；
（3）當E為BD的中點時，利用菱形的判定方法得出四邊形AEDF為菱形．

解答 （1）證明：如圖1，連接EC，∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB，
∵∠DAF=∠CBD，
∴∠DAF=∠ADB，
∴AF∥DB；

（2）解：四邊形DCEF是平行四邊形，
理由：∵AF$\stackrel{∥}{=}$BE，
∴四邊形ABEF是平行四邊形，
∴AB$\stackrel{∥}{=}$EF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB$\stackrel{∥}{=}$DC，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$DC，
∴四邊形FECD是平行四邊形；

（3）解：如圖2，當E為BD的中點時，四邊形AEDF變?yōu)榱庑危?br />理由：∵E為BD的中點，∠BAD=90°，
∴AE=BE=DE，
∵AF=BE，AF∥BD，
∴AF$\stackrel{∥}{=}$DE，AF=AE，
∴四邊形AEDF是菱形．

點評 此題主要考查了平行四邊形的判定與性質以及菱形的判定，熟練應用平行四邊形的判定方法是解題關鍵．